NOIP2018提高组初赛难点整理

选择题

在一条长度为 $1$ 的线段上随机取两个点，则以这两个点为端点的线段的期望长度是 ( $\frac{1}{3}$ ) 。

【解析】
数学期望：若离散型随机变量 $X$ 的概率分布为

$X$	$x_1$	$x_2$	$. . .$	$x_i$	$. . .$	$x_n$
$P$	$p_1$	$p_2$	$. . .$	$p_i$	$. . .$	$p_n$

那么 $E(x) = x_1 × p_1 + x_2 × p_2 + ... + x_n × p_n$ 为随机变量 $X$ 的均值或称数学期望。

本题可以使用排除法，如果左端点固定在了最左边那么答案为 $\frac{1}{2}$ ，既然左端点更大，那么肯定答案会小于 $\frac{1}{2}$ ，因此只能是 $\frac{1}{3}$ 。

假设一台抽奖机中有红、蓝两色的球，任意时刻按下抽奖按钮，都会等概率获得红球或蓝球之一。有足够多的人每人都用这台抽奖机抽奖，假如他们的策略均为：抽中蓝球则继续抽球，抽中红球则停止。最后每个人都把自己获得的所有球放到一个大箱子里，最终大箱子里的红球与蓝球的比例接近于1:1：

【解析】数学期望解题技巧：

确定取值：写出 $X$ 可能取的全部值

求概率：求 $X$ 每个值的概率

写出 $X$ 的分布列

由均值的定义求出 $E (X)$

获得红球的数量概率分布为：

$X$	第1次抽中红球	第2次抽中红球	$. . .$	第 $i$ 次抽中红球
$P$	$\frac{1}{2}$	$(\frac{1}{2})^2$	$. . .$	$(\frac{1}{2})^i$

获得红球数量的数学期望 $E(red)=\sum\limits_{i=1}^\infty(\frac{1}{2})^i$ 。等比数列求和，当 $n\rightarrow \infty$ 时， $E (r e d) = 1$ 。同理，获得蓝球数量的数学期望 $E (b l u e) = 1$ 。

最终大箱子里的红球与蓝球的比例接近1:1。

为了统计一个非负整数的二进制形式中 $1$ 的个数，代码如下：

int CountBit(int x)
{
    
    
     int ret = 0;
     while (x)
     {
    
    
       ret++;
       ________;
     }
     return ret;
}

【解析】x & = x - 1可以将一个非负整数x最低位的1变为0。除此之外，x -= lowbit(x)也可以实现同样的效果，lowbit(x) = x & -x。

2−3 树是一种特殊的树，它满足两个条件：
1）每个内部结点有两个或三个子结点；
2）所有的叶结点到根的路径长度相同。
如果一棵 2-3 树有 10 个叶结点，那么它可能有 ( ) 个非叶结点。
【解析】符合上述条件的2−3 树，非叶结点的个数有8和7两类，例如：

问题求解

方程 $=(a\ or\ b) * (a\ and\ b)$ ，在 $a, b$ 都取 $[0, 31]$ 中的整数时，共有（454）组解。(∗ 表示乘法；or 表示按位或运算；and 表示按位与运算)。

【解析】满足等式 $=(a\ or\ b) * (a\ and\ b)$ 的 $a 、 b$ 有如下关系：一个数的二进制中为1位的在另一个数相应的二进制为上也是1，例如：3和7， $011)_2$ 和 $111)_2$ ， $\times 7=(3 \& 7) \times (3|7)=7\times3=21$ 。
根据 $a$ 中1的情况进行分类：

有0个1， $b$ 有 $2^5$ 种方案， $a 和 b$ 方案有 $1\times32=32$ 种

有1个1， $a$ 有 $C_5^1$ 种方案， $a 和 b$ 方案有 $C_5^1\times(16+1)=85$ 种，因为b可以有下面情况：

$b$ 的对应位为1，有 $2^4$ 种方案，

$b$ 为0，有1种方案

有2个1， $a 和 b$ 有 $C_5^2\times(8+2+1)=110$ 种，因为b可以有下面情况：

$b$ 的对应位有2个1，有 $2^3$ 种方案

$b$ 的对应位有1个1，有 $C_2^1$ 种方案

$b$ 的对应位有0个1，有1种方案

有3个1， $a 和 b$ 有 $C_5^3\times(4+3+3+1)=110$ 种，因为b可以有下面情况：

$b$ 的对应位有3个1， $b$ 有 $2^2$ 种方案

$b$ 的对应位有2个1， $b$ 有 $C_3^2$ 种方案

$b$ 的对应位有1个1， $b$ 有 $C_3^1$ 种方案

$b$ 的对应位有0个1， $b$ 有1种方案

有4个1， $a 和 b$ 方案有 $C_5^4\times(2+4+6+4+1)=85种$ ，因为b可以有下面情况：

$b$ 的对应位有4个1， $b$ 有 $2^1$ 种方案

$b$ 的对应位有3个1， $b$ 有 $C_4^3$ 种方案

$b$ 的对应位有2个1， $b$ 有 $C_4^2$ 种方案

$b$ 的对应位有1个1， $b$ 有 $C_4^1$ 种方案

$b$ 的对应位有0个1， $b$ 有 $1$ 种方案

有5个1， $b$ 有 $32$ 种方案， $a 和 b$ 方案有 $1\times32=1$ 种

答案： $(32+85+110)\times2=454$ 。

阅读程序写结果

#include <cstdio>
int n, d[100];
bool v[100];
int main(){
    
    
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
    
    
        scanf("%d", d + i);
        v[i] = false;
    }
    int cnt = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i){
    
    
        if (!v[i]){
    
    
            for (int j = i; !v[j]; j = d[j]){
    
    
                v[j] = true;
            }
            ++cnt;
        }
    }
    printf("%d", cnt);
    return 0;
}

输入：10 7 1 4 3 2 5 9 8 0 6

【解析】手动模拟

`i`	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
`d[i]`	7	1	4	3	2	5	9	8	0	6

i = 0，v[0] = true, v[7] = true, v[8] = true，cnt = 1

i = 1，v[1] = true，cnt = 2

i = 2，v[2] = true, v[4] = true，cnt = 3

i = 3，v[3] = true，cnt = 4

i = 4

i = 5，v[5] = true，cnt = 5

i = 6，v[6] = true, v[9] = true，cnt = 6

i = 7

i = 8

i = 9

答案：6。

#include <iostream>
using namespace std;
string s;
long long magic(int l, int r){
    
    
    long long ans = 0;
    for (int i = l; i <= r; ++i){
    
    
        ans = ans * 4 + s[i] - 'a' + 1;
    }
    return ans;
}
int main(){
    
    
    cin >> s;
    int len = s.length();
    int ans = 0;
    for (int l1 = 0; l1 < len; ++l1){
    
    
        for (int r1 = l1; r1 < len; ++r1){
    
    
            bool bo = true;
            for (int l2 = 0; l2 < len; ++l2){
    
    
                for (int r2 = l2; r2 < len; ++r2){
    
    
                    if (magic(l1, r1) == magic(l2, r2) && (l1 != l2 || r1 != r2)){
    
    
                        bo = false;
                    }
                }
            }
            if (bo){
    
    
                ans += 1;
            }
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

输入：abacaba

【解析】字符串哈希，将输入字符串[l,r]位置的子串转换为4进制数，查找是否存与前缀字符串哈希值不同的子串。
从0开始的前缀字符串，且不存在哈希值相同的子串有4个：

abac

abaca

abacab

abacaba
从1开始的前缀字符串，且不存在哈希值相同的子串有4个：

bac

baca

bacab

bacaba
从2开始的前缀字符串，且不存在哈希值相同的子串有4个：

ac

aca

acab

acaba
从3开始的前缀字符串，且不存在哈希值相同的子串有4个：

c

ca

cab

caba

答案：16。

#include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 110;
bool isUse[N];
int n, t;
int a[N], b[N];
bool isSmall(){
    
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        if (a[i] != b[i]) return a[i] < b[i];
    return false;
}
bool getPermutation(int pos){
    
    
    if (pos > n){
    
    
        return isSmall();
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i){
    
    
        if (!isUse[i]){
    
    
            b[pos] = i; isUse[i] = true;
            if (getPermutation(pos + 1)){
    
    
                return true;
            }
            isUse[i] = false;
        }
    }
    return false;
}
void getNext(){
    
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i){
    
    
        isUse[i] = false;
    }
    getPermutation(1);
    for (int i = 1; i <= n; ++i){
    
    
        a[i] = b[i];
    }
}
int main(){
    
    
    scanf("%d%d", &n, &t);
    for (int i = 1; i <= n; ++i){
    
    
        scanf("%d", &a[i]);
    }
    for (int i = 1; i <= t; ++i){
    
    
        getNext();
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i){
    
    
        printf("%d", a[i]);
        if (i == n) putchar('\n'); 
        else putchar(' ');
    }
    return 0;
}

输入1：6 10 1 6 4 5 3 2
输入2：6 200 1 5 3 4 2 6

【解析】算法通过DFS按字典序生成n个数的全排列，当生成的排列组成的序列>输入序列时停止。t表示在输入序列之后，再继续按字典序生成的排列个数。
输入1，当t=10时，求1 6 4 5 3 2后第11个排列，可以一个个向后枚举：

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
`1 6 5 2 3 4`	`1 6 5 2 4 3`	`1 6 5 3 2 4`	`1 6 5 3 4 2`	`1 6 5 4 2 3`	`1 6 5 4 3 2`	`2 1 3 4 5 6`	`2 1 3 4 6 5`	`2 1 3 5 4 6`	`2 1 3 5 6 4`

答案为：>2 1 3 5 6 4。
输入2，当t=200时，求1 5 3 4 2 6后第200个排列，找规律：

15开头的序列之前有72个

153开头的序列之前有6个

1 5 3 2 4 6、1 5 3 2 6 4、1 5 3 4 2 6
那么 153426是字典序中第81个序列，即求字典序中第281个序列：

3开头的序列之前有240个

31开头的序列有24个

321开头的序列有6个

324开头的序列有6个
那么就要找325开头的第5个序列。
答案为：3 2 5 6 1 4

1	2	3	4	5
`3 2 5 1 4 6`	`3 2 5 1 6 4`	`3 2 5 4 1 6`	`3 2 5 4 6 1`	`3 2 5 6 1 4`

完善程序

对于一个 1 到 n 的排列 P（即 1 到 n 中每一个数在 P 中出现了恰好一次），令 $q_i$ 为第 $i$ 个位置之后第一个比 $P_i$ 值更大的位置，如果不存在这样的位置，则 $q_i = n + 1$ 。举例来说，如果 n = 5且 $P$ 为 $1\ 5\ 4\ 2\ 3$ ，则 q 为 $2\ 6\ 6\ 5\ 6$ 。下列程序读入了排列 $P$ ，使用双向链表求解了答案。试补全程序。
数据范围 $\le n \le 10^5$ 。

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n;
int L[N], R[N], a[N];
int main(){
    
    
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i){
    
    
        int x;
        cin >> x;
        ____(1)____;
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i){
    
    
        R[i] = ____(2)____;
        L[i] = i - 1;
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i){
    
    
        L[____(3)____] = L[a[i]];
        R[L[a[i]]] = R[____(4)____];
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i){
    
    
        cout << ____(5)____ << " ";
    }
    cout << endl;
    return 0;
}

【解析】双链表右侧第一个更大值
空①，保存x在链表中的位置，a[x]=i
空②，初始化链表，将R[i]指向它的右侧位置i+1
空③，从小到大将当前最小的数，从双链表中删除，L[R[a[i]]] = L[a[i]]
空④，R[L[a[i]]] => R[a[i]];
空⑤，输出每个位置之后第一个比当前位置值更大的位置，R[i]。

一只小猪要买 N 件物品 (N 不超过 1000)。
它要买的所有物品在两家商店里都有卖。第 $i$ 件物品在第一家商店的价格是 a[i]，在第二家商店的价格是 b[i]，两个价格都不小于 0 且不超过 10000。如果在第一家商店买的物品的总额不少于 50000，那么在第一家店买的物品都可以打 95 折(价格变为原来的 0.95 倍)。
求小猪买齐所有物品所需最少的总额。
输入：第一行一个数 N。接下来 N 行，每行两个数。第 i 行的两个数分别代表 a[i], b[i]。
输出：输出一行一个数，表示最少需要的总额，保留两位小数。
试补全程序。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int Inf = 1000000000;
const int threshold = 50000;
const int maxn = 1000;

int n, a[maxn], b[maxn];
bool put_a[maxn];
int total_a, total_b;
double ans;
int f[threshold];

int main() {
    
    
    scanf("%d", &n);
    total_a = total_b = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
    
    
        scanf("%d%d", a + i, b + i);
        if (a[i] <= b[i]) total_a += a[i];
        else total_b += b[i];
    }
    ans = total_a + total_b;
    total_a = total_b = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
    
    
        if (____(1)____) {
    
    
            put_a[i] = true;
            total_a += a[i];
        }
        else{
    
    
            put_a[i] = false;
            total_b += b[i];
        }
    }
    if (____(2)____) {
    
    
        printf("%.2f", total_a * 0.95 + total_b);
        return 0;
    }
    f[0] = 0;
    for (int i = 1; i < threshold; ++i)
        f[i] = Inf;
    int total_b_prefix = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
    
    
        if (!put_a[i]) {
    
    
            total_b_prefix += b[i];
            for (int j = threshold - 1; j >= 0; --j) {
    
    
                if (____(3)____ >= threshold && f[j] != Inf)
                    ans = min(ans, (total_a + j + a[i]) * 0.95 + ____(4)____);
                f[j] = min(f[j] + b[i], j >= a[i] ? ____(5)____ : Inf);
            }
        }
    }
    printf("%.2f", ans);
    return 0;
}

【解析】本题求买 N 件物品最少需要的总金额。如果在每件物品在a商店打完折后比b商店便宜，那么一定选择在a中买，此时即为最优策略。该最优策略需要满足两个条件：

物品在a商店打完折后比b商店便宜

在a商店购买的物品的总额不少于 50000
依据此最优策略可以设计贪心算法求解。

空①，如果在a商店打完折比b商店便宜，a[i] * 0.95 <= b[i]
空②，满足打折条件，即在a商店购买的物品的总额不少于 50000，total_a >= 50000
如果不满足上述最优策略，使用的是动态规划求解，策略把原先在b商店买的东西换成在a商店买，以获得折扣，求最优解。f[i][j]表示对于前i个物品，额外在a店花了j元的情况下，购买b店物品花费的最小值。题中的使用了01背包的空间优化方法，去掉了数组的第一维。
空③，如果第i件物品没有在a店买，并且a店之前花的总金额+在不同金额j的情况下+第i件物品在a店的价格，不低于50000，那么可以打折，即尝试将在a店购买第i件物品是否可以更新ans。所以空③填total_a + j + a[i]。
空④，可以在a店买第i件物品时，尝试用新的总金额（在a店花的钱+在b店花的钱）更新ans。所以空④天f[j]+total_b-total_b_prefix
空⑤，状态转移，如果可以在a点买第i件物品，可以从f[j-a[i]]转移过来，即去掉a店第i件物品价格时的最优解。

NOIP2018提高组初赛难点整理

选择题

问题求解

阅读程序写结果

完善程序

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