提高组noip2015

一道二分答案裸题，一道dp，一道各种裸题的混合（树上差分+二分答案+LCA）

stone:

二分查找裸题啊:

int check(int x)
{
    int cnt=0,last=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    if(a[i]-a[last]<x) cnt++;//已经是最小值了，所以没有比他更小的，有更小的就要移开
    else last=i;//推起走
    if(cnt>m) return 0;
    return 1;
}

void find(int l,int r)
{
    while(l<=r)
    {
        int mid=(l+r)>>1;
        if(check(mid)) 
        {
            ans=max(ans,mid);
            l=mid+1;//二分查找满足单调性，既然它满足，那么比它大的也可能满足，就往大的去推（比较是找最大值）
        }
        else r=mid-1;
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&len,&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    find(0,len);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

substring:

DP：考虑当前匹配成功与否

这种两个串一个一个挨着去找的有没有LIS,LCS的感觉——>大佬们就想到了dp（然而自己没有

状态

首先我们考虑设计状态。我们发现，为了保证无后效性的一位一位往后推，我们需要记录当前推到

这样，我们就设计好了状态。我们记 $f_{i,j,p,v}fi,j,p,v表示到aa串的第ii个位置为止使用pp个子串匹配bb串前jj位字符且第ii个位置选或不选（vv）的方案数。$

转移

设计好状态，不会转移怎么行。我们分情况考虑。

当 $a_i=b_jai=bj时：$
1. $f_{i,j,p,0}fi,j,p,0：由于这位不选，所以就是前面一位选和不选方案数之和，即f_{i,j,p,0}=f_{i-1,j,p,0}+f_{i-1,j,p,1}fi,j,p,0=fi−1,j,p,0+fi−1,j,p,1。$
2. 容易得到 $f_{i,j,p,1}=f_{i-1,j-1,p,1}+f_{i-1,j-1,p-1,0}+f_{i-1,j-1,p-1,1}fi,j,p,1=fi−1,j−1,p,1+fi−1,j−1,p−1,0+fi−1,j−1,p−1,1.$
当 $a_i\ne b_jai≠bj时：$
1. 不选情况同上，即 $f_{i,j,p,0}=f_{i-1,j,p,0}+f_{i-1,j,p,1}fi,j,p,0=fi−1,j,p,0+fi−1,j,p,1.$
2. 由于选不了，自然就是 $00，即f_{i,j,p,1}=0fi,j,p,1=0.$

优化空间

如果你读完状态设计之后又稍微思考就会发现，空间可能较大。空间不够怎么办？在luogu还好说，如果真的在NOIP，应该是不敢开 $1000\times200\times200\times2=8\times10^71000×200×200×2=8×107的数组吧。所以我们观察转移方程，发现每次转移只用到了前一位！于是我们把第一维很愉快地滚掉了。这样，空间复杂度就保证是O(mk)O(mk)了。那么时间呢？时间是O(n\cdot mk)O(n⋅mk)，但是时间不像空间，这个复杂度是可以接受的。于是，完整算法就结束了。$

#include<cstdio>
#include<cstring>
const int MAXN=1010;
const int MAXM=210;
const int MOD=(int)(1e9)+7;
int f[2][MAXM][MAXM][2];
char a[MAXN],b[MAXM];
int n,m,k;bool val=1;

void dp(){
    f[0][0][0][0]=f[1][0][0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++,val^=1)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            for(int p=1;p<=k;p++){
                if(a[i]==b[j]){
                    f[val][j][p][0]=(f[val^1][j][p][0]+f[val^1][j][p][1])%MOD;
                    f[val][j][p][1]=(f[val^1][j-1][p][1]+\
                                    (f[val^1][j-1][p-1][0]+f[val^1][j-1][p-1][1])%MOD)%MOD;
                }
                else{
                    f[val][j][p][0]=(f[val^1][j][p][0]+f[val^1][j][p][1])%MOD;
                    f[val][j][p][1]=0;
                }
            }
}

int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    scanf("%s%s",a+1,b+1);
    dp();
    printf("%d\n",(f[n&1][m][k][0]+f[n&1][m][k][1])%MOD);
    return 0;
}

1s极限：1e8

状态

转移

优化空间

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