2021考研数学 高数第二章 导数与微分

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1. 背景

前段时间复习完了高数第二章的内容，我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理，形成了这篇笔记，方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。

2. 导数与微分的概念

2.1. 导数与微分的概念

• 导数
  • 概念：函数在某一点的变化率
• 微分
  • 概念：函数值在某一点的改变量的近似值

2.2. 连续、可导、可微之间的关系

• 连续与可导

  • 连续不一定可导
  • 可导必定连续

• 连续与可微

  • 连续不一定可微
  • 可微必定连续

• 可导与可微(在一元函数中)

  • 可微必定可导
  • 可导必定可微
  • 可导是可微的充分必要条件

注：在多元函数中，可导（偏导）不一定可微，可导（偏导）也不一定连续

• 证明可导必可微

根据可导定义，令

$\lim\limits_ {\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = A$

则有

$\lim\limits_ {\Delta x \to 0}\frac{\Delta y - A\Delta x}{\Delta x} = 0$

即有 $\Delta y - A\Delta x = o(\Delta x)$，故 $\Delta y = A\Delta + o(\Delta x)$，其中 $A$为常数，满足可微的定义，因此，可导必可微。

• 证明可微必可导

根据可微定义

$\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)$

则

$f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{A \Delta x + o(\Delta x)}{\Delta x} = A$

导数存在，故满足可导的定义，因此可微必可导，且 $f'(x) = A$.

• 常见错误
  • $f(x)$在某邻域可导
  • 不能推出 $f'(x)$在 $x_0$点连续
  • 不能推出 $\lim\limits_{x \to x_0}f'(x)$存在
  • 题型：第一章例 $33$，考察洛必达法则的使用条件

2.3. 导数的几何意义

导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线 $y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处切线的斜率。

注：法线的斜率是切线斜率的负倒数。

2.4. 相关变化率

• 定义

设 $x = x(t)$及 $y = y(t)$都是可导函数，而变量 $x$与 $y$之间存在某种关系，从而他们的变化率 $\dfrac{dx}{dt}$与 $\dfrac{dy}{dt}$之间也存在一定关系，这样两个相互依赖的变化率成为相关变化率

• 例题（第二章例 $29$）

已知动点 $P$在曲线 $y = x^3$上运动，记坐标原点与点 $P$间的距离为 $l$。若点 $P$的横坐标对时间的变化率为常数 $v_0$，则当点 $P$运动到点 $(1, 1)$时， $l$对时间的变化率是 $\underline{\hspace*{1cm}}$.

解：

已知 $\dfrac{dx}{dv} = v_0$， $l = \sqrt{x^2 + x^6}$，则

$\frac{dl}{dt} = \frac{dl}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{2x + 6x^5}{2\sqrt{x^2 + x^6}} \cdot v_0$

带入数值 $x = 1$，则

$\frac{dl}{dt} = \frac{1 + 3}{\sqrt{2}}v_0 = 2\sqrt{2} v_0$

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3. 导数公式及求导法则

3.1. 基本初等函数的导数公式

$(C)' = 0 \tag{2.1}$

$(x^a)' = ax^{a-1} \tag{2.2}$

$(a^x)' = a^x\ln(a) \tag{2.3}$

$(e^x)' = e^x \tag{2.4}$

$(\log_a^x)' = \frac{1}{x\ln(a)} \tag{2.5}$

$(\ln \mid x \mid )' = \frac{1}{x} \tag{2.6}$

$(\sin x)' = \cos(x) \tag{2.7}$

$(\cos x)' = -\sin(x) \tag{2.8}$

$(\tan x )' = \sec^2(x) \tag{2.9}$

$(\cot x)' = - \csc^2(x) \tag{2.10}$

$(\sec x)' = \sec (x) \tan (x) \tag{2.11}$

$(\csc x)' = \csc^2(x) \cot (x) \tag{2.12}$

$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \tag{2.13}$

$(\arccos x)' = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \tag{2.14}$

$(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2} \tag{2.15}$

$(\arcctg x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \tag{2.16}$

注： $\sec(x) = \dfrac{1}{\cos(x)}$， $\csc(x) = \dfrac{1}{\sin(x)}$

3.2. 求导法则

3.2.1. 有理运算法则

设 $u = u(x), v = v(x)$在 $x$处可导，则

$(u \pm v)' = u' \pm v' \tag{2.17}$

$(uv)' = u'v + uv' \tag{2.18}$

$(\dfrac{u}{v})' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} \tag{2.19}$

3.2.2. 复合函数求导法

设 $u = \varphi(x)$在 $x$处可导， $y = f(u)$在对应点可导，则复合函数 $y = f[\varphi(x)]$在 $x$处可导，则

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f'(u)\varphi'(x) \tag{2.20}$

• 推论

一个可导的奇（偶）函数，求一次导，其奇偶性发生一次变化

• 证明推论

1. 若 $f(x)$为奇函数。

$f(x)$满足 $f(-x) = -f(x)$,又根据复合函数求导法则，得到 $f'(-x) = -f'(x)$，则

$[f(-x)]' = -[-f(x)]' = [f(x)]'$

即 $f'(x)$为偶函数

2. 若 $f(x)$为偶函数。

$f(x)$满足 $f(-x) = f(x)$,又根据复合函数求导法则，得到 $f'(-x) = -f'(x)$，则

$[f(-x)]' = -[f(x)]'$

即 $f'(x)$为奇函数

3.2.3. 隐函数求导法

设 $y = y(x)$是由方程 $F(x, y) = x$所确定的可导函数，为求得 $y'$，可在方程 $F(x, y) = 0$两边对 $x$求导，可得到一个含有 $y'$的方程，从中解出 $y'$即可。

注： $y'$也可由多元函数微分法中的隐函数求导公式2.21得到。

$\frac{dy}{dx} = - \frac{F'_x}{F'_y} \tag{2.21}$

3.2.4. 反函数的导数

若 $y = f(x)$在某区间内可导，且 $f'(x) \ne 0$，则其反函数 $x = \varphi (x)$在对应区间内也可导，且

$\varphi (y) = \frac{1}{f'(x)} \tag{2.22}$

即

$\frac{dy}{dx} =\frac{1}{\dfrac{dy}{dx}}$

3.2.5. 参数方程求导法

设 $y = y(x)$是由参数方程

${\left\{ \begin{aligned} &x = \varphi (x)\\ &y = \psi (x)\\ \end{aligned}\right. }, (\alpha < t < \beta)$

确定的函数，则

1. 若 $\varphi (x)$和 $\psi (x)$都可导，且 $\varphi(t) \ne 0$，则

$\frac{dy}{dx} = \frac{\psi(x)}{\varphi(x)} \tag{2.23}$

2. 若 $\varphi (x)$和 $\psi (x)$都二阶可导，且 $\varphi(t) \ne 0$，则

$\frac{d^2 y}{d^2 x} = \frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx}) \cdot \frac{dt}{dx}= \frac{d}{dt}(\frac{\psi '(t)}{\varphi '(t)}) \cdot \frac{1}{\varphi '(x)} = \frac{\psi ''(t)\varphi '(x) - \varphi ''(x) \psi '(t)}{\varphi^3 (t)} \tag{2.24}$

3.2.5.1. 极坐标方程转化为参数方程形式

极坐标性质

${\left\{ \begin{aligned} \rho^2 &= x^2 + y^2\\ \tan \theta &= \frac{y}{x} (x \ne 0)\\ \end{aligned}\right.} \tag{2.25}$

极坐标转化为直角坐标的转化公式

${\left\{ \begin{aligned} x = \rho \sin \theta\\ y = \rho \cos \theta\\ \end{aligned}\right.} \tag{2.26}$

已知经过点 $M(\rho_o, \theta_0)$，且直线与极轴所成角为 $\alpha$的直线 $l$，其极坐标方程为

$\rho \sin (\alpha - \theta) = \rho_0 \sin(\alpha_0 - \theta_0)$

即

$\rho = \rho_0 \sec(\alpha_0 - \theta_0)$

转化为参数方程形式

${\left\{ \begin{aligned} x = \rho_0 \sec(\alpha_0 - \theta_0) \sin(\theta)\\ y = \rho_0 \sec(\alpha_0 - \theta_0) \cos(\theta)\\ \end{aligned} \right.}$

3.2.6. 对数求导法

如果 $y = y(x)$的表达式由多个因式的乘除、乘幂构成，或是幂指函数的形式，则可先将函数去对数，然后两边对 $x$求导。

注：对等式两边取对数，需要满足等式两边都大于0的条件

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4. 高阶导数

4.1. 高阶导数的定义

含义：一般地，函数 $y = f(x)$的 $n$阶导数为 $y^{(n)} = [f^{(n - 1)}(x)]'$，也可记为 $f^{(n)}(x)$或 $\dfrac{d^ny}{dx^n}$，即 $n$阶导数就是 $n-1$阶导函数的导数。

注：如果函数在点 $x$处 $n$阶可导，则在点 $x$的某邻域内 $f(x)$必定具有一切低于 $n$阶的导数。

4.2. 常用的高阶导数公式

$(\sin x)^{(n)} = \sin (x + n \cdot \frac{\pi}{2}) \tag{2.27}$

$(cos x)^{(n)} = \cos (x + n \cdot \frac{\pi}{2}) \tag{2.28}$

$(u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)} \tag{2.29}$

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n C_n^k u^{(k)}v^{(n-k)} \tag{2.30}$

式2.24可类比 $n$阶二项式公式

$(u + v)^{n} = \sum_{k=0}^n C_n^k u^{k}v^{n-k} \tag{2.31}$

• 推论

若 $y= \sin(ax + b)$，则
$y^{(n)} = a^n \sin(ax + b + n \cdot \frac{\pi}{2}) \tag{2.32}$

• 证明

通过归纳法，求 $y'$和 $y''$，推出 $y^{(n)}$.

4.3. 求高阶导数的方法

1. 公式法，带入高阶导数公式
2. 归纳法，求 $y'$， $y''$，归纳 $y^{(n)}$

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5. 总结

1. 导数
   • 定义
   • 求导法则
   • 高阶导数
2. 微分
   • 定义
   • 微分与可导的关系
   • 微分方程求导