1.初等函数
幂函数
y = x ^ u (u属于R)
指数函数
y = a ^ x (a>0且a!=1)
对数函数
y = lnx / lna (a>0且a!=1)
三角函数
sinx, cosx, tanx,…
反三角函数
arcsinx, arccosx, arctanx,…
2.数列的极限
定义：对任意c>0，存在N，n>N时
abs(An - a) < c。
则，a为数列极限，数列收敛。
3.函数的极限
3.1.在x0处极限
定义：f(x)在x0的去心领域有定义，对任意c > 0, 存在abs(x-x0) < d时，
abs(f(x) - A) < c。
则，A为f(x)在x0的极限。
3.2.在正负无穷处极限
定义：f(x)在|x|大于某正数时有定义，对任意c>0，存在X，|x| > X时，abs(f(x) - A) < c。
则，A为f(x)在x->无穷时的极限。
3.3.无穷小
极限为0
3.4.无穷大—极限无上界
3.5.极限存在准则
3.5.1.夹逼准则—可证明
x属于x0的去心临域/abs(x)>M时，
g(x)<=f(x)<=h(x)
limg(x)=A,limh(x)=A。
则，limf(x)=A
3.5.2.单调有界数列必有极限—未做证明
3.6.两个重要极限
limsinx/x = 1 (x->0)
lim(1+1/n)^n = e (n->无穷大)
4.无穷小的比较
4.1.定义
limb，lima同为自变量在某处或无穷大/无穷小处的无穷小。
如limb/lima=0,b为相对于a的高阶无穷小
如limb/lima=无穷，b为相对于a的低阶无穷小
如limb/lima=c!=0，b为相对于a的同阶无穷小
如limb/lima=1，b为a的等价无穷小
如limb/a^k=c!=0，b为a的k阶无穷小
5.函数连续性
y = f(x)在点x0的某一领域内有定义，
如limf(x) = f(x0) x->x0
则，f(x)在点x0连续。
6.导数定义
y = f(x)在x0的某个邻域有定义，
f’(x0) = lim[f(x0 + delX) - f(x0)] / delX delX->0
6.1.求导定理—可证明
[u(x) +/- v(x)]’ = u’(x) +/- v’(x)
[u(x)v(x)]’ = u’(x)v(x) + u(x)v’(x)
[u(x)/v(x)]’ = [u’(x)v(x) - u(x)v’(x)]/v(x)^2 v(x)!=0
6.2.求导定理—可证明
x = f(y)在区间Iy单调，可导且f’(y) != 0,则它的反函数y=F(x) 在区间Ix内也可导，且
y’ = 1 / f’(y)
6.3.求导定理—可证明
如u=g(x)在x可导，y=f(u)在u=g(x)可导，
则，y’ = f’(u)g’(x)
6.4.基本初等函数导数公式—依据导数定义可以推导出来
| 函数 | 导数 |
|---|---|
| x^u | u*x^(u - 1) |
| sinx | cosx |
| cosx | -sinx |
| a^x | a^x * lna (a>0, a!=1) |
| lnx / lna | 1 / xlna (a>0, a!=1) |
| lnx | 1/x |
| arcsinx | 1 / sqrt(1 - x^2) |
| arccosx | -1 / sqrt(1 - x^2) |
7.函数的微分
y = f(x)在某区间有定义，x0 及 x0+delX区间内，如delY = f(x0 + delX) - f(x0)，可表示为delY = AdelX + o(delX)。
则，称y = f(x)在点x0可微，AdelX叫y = f(x)在点x0相应于自变量增量delX的微分。记做dy。
8.微分中值定理
8.1.定理1—可证明
f(x)在x0某邻域U(x0)有定义，在x0处可导，如对任意x属于U(x0)有
f(x) <= f(x0) / f(x) >= f(x0)，
则，f’(x0) = 0。
8.2.定理2—可证明
f(x)在[a, b]连续
f(x)在(a, b)可导
f(a) = f(b)
在(a, b)内至少有一点c，
f’© = 0。
8.3.定理3—可证明(构造辅助函数+利用定理2)
f(x)在[a, b]连续
f(x)在(a, b)可导
在(a, b)内至少有一点c，
f(b) - f(a) = f’©(b - a)
8.4.定理4—可证明(构造辅助函数+利用定理3)
f(x), F(x)在[a, b]连续
f(x), F(x)在(a, b)可导
对任意x属于(a, b)，F’(x) != 0
在(a, b)内至少有一点c，
[f(b) - f(a)] / [F(b) - F(a)] = f’© / F’©
8.5.定理5—可证明
f(x)在x0有n阶导数，存在x0的一个邻域，对邻域内任一x，
f(x) = f(x0) + f’(x0)(x - x0) + f’’(x0)(x - x0)^2/ 2! + … +
f(n)(x0)(x - x0)^n + Rn(x)。
Rn(x) = o((x - x0)^n)。// 要证明的点
8.6.定理6—可证明
f(x)在x0某个邻域U(x0)内有(n+1)阶导数，对任一x属于U(x0)，
f(x) = f(x0) + f’(x0)(x - x0) + f’’(x0)(x - x0)^2/ 2! + … +
f(n)(x0)(x - x0)^n + Rn(x)。
Rn(x) = f(n+1)© (x - x0)(n+1)/(n+1)! c属于x0和x之间。
9.函数凹凸性与拐点
9.1.凹凸性定义
f(x)在区间I连续，对I上任意两点x1, x2，
恒有
f((x1 + x2) / 2) < [f(x1) + f(x2)] / 2
称f(x)在I上的图形是凹的。
恒有
f((x1 + x2) / 2) > [f(x1) + f(x2)] / 2
称f(x)在I上的图形是凸的。
9.2.凹凸性判别定理—可证明
f(x)在[a, b]连续
f(x)在(a, b)具有二阶导数
若(a, b)内f’’(x) > 0，则f(x)在[a, b]上图形是凹的。
若(a, b)内f’’(x) < 0，则f(x)在[a, b]上图形是凸的。
10.曲率圆和曲率半径—偏应用
曲率k = limabs(delA / delS) delS ->0,delA为角度变化量，delS为弧长变化量。
y=f(x)在M(x, y)处的曲率为k，在M处法线上，凹的一侧取点D，使|DM|= 1 / k。以D为圆心，|DM|为半径的圆，称为M处的曲率圆。
