我一直坚信，学一个课程要把整个内容融会贯通起来，要用出题人的思维去解决题目，当一道题摆到你面前的时候你应该有一种或多种思考角度，然后逐一尝试来解决题目，而不是左右摇摆。

上一章已经介绍了导数与微分，那么很明显，第三章就是要熟悉微分熟悉导数，并能够知道它们可以做些什么。

首先第一节带领我们了解微分中值定理。

什么是微分中值定理，每一个数学名词都有它之所以这么叫的原因，微分，中值？中间值？这些定理之间又有什么联系呢。

一、微分中值定理

1.1 罗尔定理

其实课本先讲述了费马引理，自然是为了引出后面的罗尔定理。

费马引理设函数fx在点x0的某邻域U(x0)内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的x∈U(x0)有

fx<=fx0 （或者 fx>=fx0）

那么 f'x0=0

费马引理其实可以“凭感觉知道是对的”，但数学是一门严谨的科目，定理都是需要反复推敲并证明的。

费马引理的证明很简单，既然定理这么说了，那么设一个△x，f(△x+x)肯定<=f(x)（或者>=f(x)）但是△x可能是负的也可能是正的，这样的话x0点的左右导数分别大于等于0，小于等于0（或者相反），那么根据可导的条件，左右导数必然相等，故f'(x0)=0

好，下面是罗尔定理，课本的定义我还是搬出来吧：

（1）在闭区间[a,b]上连续

（2）在开区间(a,b)内可导

（3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少有一点ξ（a<ξ<b）,使得f'(ξ)=0

前两个条件简记为闭区间连续开区间可导，至于端点处函数值相等，也很好记。

这个定理和费马引理一样，看上去就感觉应该是对的，

下面模拟大脑过程，

这个罗尔定理中函数的形状就好像是一座桥或者是一个盆地，两边平齐，那么总有一个最低点或者最高点使得这个导数为0。

看见没！重点来了，你自己其实在脑子里已经证明了罗尔定理！！但是你只是把它形象化了，并没有用数学语言呈现出来。注意

你刚才模拟过程中的一个词，最低点，最高点！这其实就是指这个函数的最大值，最小值，你的大脑已经在指明了考虑方向。罗尔定理只是说导数为零，可是你就想到了最高点。

那么我们就来用数学思维证明这个问题，

①你只是说函数两边平齐，你可没说这个函数一定是桥的形状或者是盆地，还可能是平地呢！对！所以第一种可能就是fx=常数，那么不用想也知道，开区间里的任意一个ξ都可以使得其导数为0

②桥或者盆地形状，那么我们以桥为例子，首先他的最高点是一定存在的对吧！然后因为是桥形，所以最高点肯定是异于a,b的，那么你想到了什么！根据最高点可以推出导数为0？？你想到了什么，当然是费马引理啦！这就是开头引出费马引理的原因吧。

如果有多个最大值最小值很明显就有多个ξ使之成立喽！

1.2拉格朗日中值定理

我们注意到，罗尔定理其实还是有一个条件限制的，那就是fa=fb，这是一个很奇怪的条件，为什么要两边相等？拉格朗日提出了疑问，他开始尝试去解释或者说去尝试去掉这个条件，会变成什么样子。

是的，会变成这个样子，给人一种倾斜的感觉，其实罗尔定理只是把它摆正了，摆正只不过是倾斜的一种方式！所以，很明显，罗尔定理只是拉格朗日定理的一种特殊情况！

拉格朗日为了载入史册，于是提出了拉格朗日定理：

保留罗尔定理的前两个条件，即闭区间连续，开区间可导，直接得出结论，在ab之间必然有一点ξ

使得等式f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)成立，over

很不幸的是，这个好看的一个式子，因为出题人的存在，而变得变化多端，是的，下面的式子都是此等式的其他形式：

f(x+△x)-f(x)=f'(ξ)△x

f(x+△x)-f(x)=f'(x+θ*△x)△x，0<θ<1

是的，ξ是介于a，b之间的，一定要记住这一点。

哎，这个拉格朗日也是个聪明人，知道既然自己的定理和罗尔同学的定理很像，所以肯定也是利用罗尔定理来证明自己的牛逼定理，可是不满足人家罗尔的端点值相等的条件啊，

拉格朗日心一横，再创建一个辅助函数吧！只要这个φ函数满足罗尔定理不就好了嘛。可是这个辅助函数怎么找呢？

这个辅助函数不好找啊，但是拉格朗日这个老狐狸还是很聪明的，你想这个辅助函数其实是包含自己的那一套拉格朗日理论的，但是他又是对于罗尔定理成立的，感觉满足罗尔定理还得和自己有关系，应该是在几何中隐藏着那么一个函数的，它的存在就是相当于一种必然的联系，毕竟罗尔定理只是拉格朗日定理的一种情况而已。

对，就是MN线段（即曲线到ab直线的距离），把他表示为φx,很明显当x等于a,b时这个线段的长度为0，可将值是相等的。

知道MN的含义是曲线到ab直线的距离我们就明白怎么用函数来表示出MN这个φx了。

φx=曲线(x)-L(x),L为ab直线方程

太简单了，直接写出来就好了

φx=f(x)-L(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a)

后面就水到渠成了，不赘述了

至此，拉格朗日同学让罗尔颜面扫地。

但是拉格朗日定理的作用还远不止与此，我们回过头来看这个公式

f(x+△x)-f(x)=f'(x+θ*△x)△x，0<θ<1

你看他像不像

△y=f'(x+θ*△x)△x

嗯，好吧，罗尔心服口服了。

我们知道函数的微分dy=f'(x)△x是函数的增量△y的近似表达式，一般来说用dy代替△y的误差只有在△x趋于0时才趋于0，而上面那个式子竟然直接给出了自变量取得有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式！因此这个定理也叫作有限增量定理，牛逼！上面那个式子也叫有限增量公式。

我们来看一下它的几何意义是啥：

不用多说什么了吧！

课本129页还说了一个定理，如果函数fx在区间I上连续，I内可导且导数恒为0，那么fx在区间I上是一个常数，

用拉格朗日定理可以证明之。

1.3柯西中值定理

罗尔同学不甘失败，叫上了同样刁钻的柯西同学来帮他报仇，柯西心思着拉格朗日都把定理写的这么涵盖范围这么大了，自己怎么才能钻空子呢！涵盖范围越大，其实可以钻空子的地方也越大。

柯西瞄准了参数方程！这么一种比较奇葩的方程。

是的，柯西把参数方程的拉格朗日形式表示了出来，然后感觉这个形状看上去和拉格朗日挺不一样的，是不是可以得出更加一般的一般性结论呢？

是的，他做到了，柯西这个混蛋做到了。

其实我刚开始看柯西定理有些不太明白，上面这个式子不就是拉格朗日定理对于参数方程的一种表示形式嘛，为啥还可以推广出去？？？

这就是柯西的厉害之处了。

参数方程是一种什么方程？x和y是个强盗，他们俩的曲线是由他们俩的xy坐标点组成了，也就是说这个参数方程的曲线其实就是一堆xy的值凑成的坐标点连起来的曲线，而可恶的是，这些xy的值是通过掠夺人家正正规规的普通方程t的方程来得到的。x和y的值可是人家的函数值啊！也就是说其实这个参数方程是对应着两条普通的关于t的曲线的！

也就是说，柯西定理把两条关于t的曲线进行了整理，他不是像罗尔和拉格朗日一样针对一条曲线，他通过参数方程找到了两条曲线的规律。尽管还不清楚这样研究两条曲线有什么卵用。那如果罗尔定理和拉格朗日定理可以推广到三维空间，其实研究三条线也没问题。

之于柯西定理的证明则是很明显要依赖前面的定理的，我们观察到柯西定理有导数参与，那么我们想到设立一个辅助函数