机器学习（六）多元线性回归之最小二乘法

线性回归的原理

• 多元回归的一般式

$\hat{y}(\theta, x)=\theta_{0}+\theta_{1} x_{1}+\ldots+\theta_{p} x_{p}$

其中：
$\hat{y}$:预测值

$\theta_{0}, \theta_{1}, \ldots \theta_{p}$:参数

$x_{0}, x_{1}, \ldots x_{p}$:自变量

• 方程的拟合思路

最小二乘法

• 通过求导求极值解法

下面通过一元线性回归模型做推导：

样本回归模型：

$\hat{y}_{i}=\hat{\beta}_{0}+\hat{\beta}_{1} x_{i}$

残差平方和(损失函数):

$Q=\sum_{i=1}^{n} e_{i}^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\hat{y}_{i}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\hat{\beta}_{0}-\hat{\beta}_{1} x_{i}\right)^{2}$

通过使得Q最小时的参数确定直线，即把它们看作是Q的函数，就变成了一个求极值的问题，可以通过求导数得到。求Q对两个待估参数的偏导数

$\left\{\begin{aligned} \frac{\partial Q}{\partial \hat{\beta}_{0}} &=2 \sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\hat{\beta}_{0}-\hat{\beta}_{1} x_{i}\right)(-1)=0 \\ \frac{\partial Q}{\partial \hat{\beta}_{1}} &=2 \sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\hat{\beta}_{0}-\hat{\beta}_{1} x_{i}\right)\left(-x_{i}\right)=0 \end{aligned}\right.$

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解得：

$\hat{\beta}_{1}=\frac{n \sum x_{i} y_{i}-\sum x_{i} \sum y_{i}}{n \sum x_{i}^{2}-\left(\sum x_{i}\right)^{2}}$

$\hat{\beta}_{0}=\frac{\sum x_{i}^{2} \sum y_{i}-\sum x_{i} \sum x_{i} y_{i}}{n \sum x_{i}^{2}-\left(\sum x_{i}\right)^{2}}$

其中：

$\hat{\beta}_{0}=\bar{y}-\hat{\beta}_1 \bar{x}$

$\hat{\beta}_{1}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n \overline{x y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^2-n \bar{x}^{2}}$

• 通过矩阵求解

定义：
$h_{\theta}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n-1}\right)=\theta_{0}+\theta_{1} x_{1}+\ldots+\theta_{n} x_{n-1}$
现在有m个样本，每个样本有n−1维特征将所有样本点代入模型中得：

$\begin{array}{l} h_{1}=\theta_{0}+\theta_{1} x_{1,1}+\theta_{2} x_{1,2}+\ldots+\theta_{n-1} x_{1, n-1} \\ h_{2}=\theta_{0}+\theta_{1} x_{2,1}+\theta_{2} x_{2,2}+\ldots+\theta_{n-1} x_{2, n-1} \\ \vdots \\ h_{m}=\theta_{0}+\theta_{1} x_{m, 1}+\theta_{2} x_{m, 2}+\ldots+\theta_{n-1} x_{m, n-1} \end{array}$

为方便用矩阵表示令 $x_0 = 1$于是上述方程可以用矩阵表示为：

$\mathbf{h}=\mathbf{X} \theta$
其中，h为m x 1的向量, 代表模型的理论值，θ 为n x 1的向量，X为 m x n维的矩阵，m代表样本的个数,n代表样本的特征数，于是目标损失函数用矩阵表示为：

$J(\theta)=\|\mathbf{h}-\mathbf{Y}\|^{2}=\|\mathbf{X} \theta-\mathbf{Y}\|^{2}=(\mathbf{X} \theta-\mathbf{Y})^{T}(\mathbf{X} \theta-\mathbf{Y})$

关于矩阵的求导补充以下知识点：

$\begin{aligned} \frac{\partial x^{T} a}{\partial x} &=\frac{\partial a^{T} x}{\partial x}=a \\ \frac{\partial x^{T} A x}{\partial x} &=A x+A^{T} x \end{aligned}$
又由于如果矩阵A是对称的：

$A x+A^{T} x=2 A x$
对目标函数化简：

$J(\theta)=\theta^{T} X^{T} X \theta-\theta^{T} X^{T} Y-Y^{T} X \theta+Y^{T} Y$
则θ最小值：

$\begin{aligned} \hat{\theta}=\underset{\theta}{\operatorname{argmin}} L(\theta) & \longrightarrow \frac{\partial}{\partial \theta} L(\theta)=0 \\ & \longrightarrow 2 X^{T} X \hat{\theta}-2 X^{T} Y=0 \\ & \longrightarrow \hat{\theta}=\left(X^{T} X\right)^{-1} X^{T} Y=X^{+} Y \end{aligned}$
这个式子中 $\left(X^{T} X\right)^{-1} X^{T}$又被称为伪逆写作 $X^{+}$,对于行满秩或者列满秩的X ，可以直接求解。

• 几何意义法求解

求解 b 在A的列向量空间中的投影。

在几何上，最小二乘法相当于模型（这里就是直线）和试验值的距离的平方求和，假设我们的试验样本张成一个 维空间（满秩的情况）模型写成 $f(w)=X \beta$而最小二乘法就是说希望 Y 和这个模型距离越小越好，于是它们的差应该与这个张成的空间垂直：

$X^{T} \cdot(Y-X \beta)=0 \longrightarrow \beta=\left(X^{T} X\right)^{-1} X^{T} Y$

python实现最小二乘法（通过矩阵求解）

class LinearRegression:
    '''使用Python实现的线性回归.（最小二乘法）'''
    def fit(self,X,y):
        '''根据提提供的训练数据X，对模型进行训练。
        
        Parameters
        ------
        X ：类数组类型。形状：[样本数量，特征数量]
        特征矩阵，用来对模型进行训练
        
        y = 类数组类型，形状：[样本数量]
        
        '''
        # 如果X是数组对象的一部分，而不是完整的对象数据（eg:切片）则无法完成矩阵的转换
        X = np.asmatrix(X.copy())  #这里创建X的拷贝对象，避免转换成矩阵时候失败
        # y 为一维结构（行向量或列向量）没有限制，可以不用拷贝
        # 注意：现在要进行矩阵的运算，需要是二维结构，通过reshape方法进行转换
        y = np.asmatrix(y).reshape(-1,1)    #    (-1,1)意思：把数组转换为一列，依据数据自定义行的矩阵
        # 通过最小二乘公式，求解出最佳的权重值
        self.w_ = (X.T * X ).I * X.T * y
    def predict(self,X):
        '''根据参数传递的样本X，delattr样本数据进行预测。
    
         Parameters
         ------
         X：类数组类型。形状[样本数量，特征数量]
         待预测的样本特征（属性）
       
         Returns
         ------
         result:数组类型
                预测的结果
        '''
        # 将X转换为矩阵 注意：需要对X进行拷贝
        X = np.asmatrix(X.copy())
        result = X * self.w_
        # 将矩阵转换为ndarray数组 ，进行扁平化处理 ，然后返回结果
        return np.array(result).ravel()