概率论笔记 第4章 随机变量的数字特征

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第4章 随机变量的数字特征

4.1 随机变量的数学期望

随机变量的数学期望，也称为随机变量的平均值。数学期望刻画了随机变量取值的平均性质。

随机变量的方差刻画了随机变量取值的波动特性。

4.1.1 离散型随机变量的数学期望

定义 4.1 设 $X$ 为离散型随机变量,其分布列为
$P(X=x_{i})=p_{i},\qquad i=1,2,\cdots,$
若级数 $\sum_{i=1}^{\infty}x_{i}p_{i}$ 绝对收敛，则称其和为随机变量 $X$ (或其分布)的数学期望,简称为期望或均值,记为 $EX$ ，即
$EX=\sum_{i=1}^{\infty}x_{i}p_{i}.$
当级数 $\sum_{i=1}^{\infty}x_{i}p_{i}$ 非绝对收敛时，称随机变量 $X$ (或其分布)的数学期望不存在。

4.1.2 连续型随机变量的数学期望

定义 4.2 设随机变量 $X$ 的密度函数为 $f(x)$ ，若积分 $\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$ 绝对收敛，则称其值为 $X$ (或其分布)的数学期望，简称为期望或均值，记为 $EX$ ，即
$EX=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx.$
（随机变量 乘 密度函数 求积分）

4.1.3 随机变量函数的数学期望

定理 4.1 设 $Y=g(X)$，其中 $X$ 为随机变量， $g(x)$ 为连续函数.

(1) 设离散型随机变量 $X$ 的分布列为 $P(X=x_{i})=p_{i},\qquad i=1,2,\cdots$ . 若级数 $\sum_{i=1}^{\infty}g(x_{i}p_{i})$ 绝对收敛，则 $Y=g(X)$ 的数学期望为
$EY=E[g(X)]=\sum_{i=1}^{\infty}g(x_i)p_{i}$
(2) 若连续型随机变量 $X$ 的密度函数为 $f(x)$，且积分 $\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx$ 绝对收敛，则 $Y=g(X)$ 的数学期望为
$EY=E[g(X)]=\sum_{i=1}^{\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx$
定理 4.2 设 $Z=g(X,Y)$，其中 $g(x,y)$ 为二元连续函数.

(1) 若二维离散型随机变量 $(X,Y)$ 的分布列为 $P(X=x_i,Y=y_i)=p_{ij},\; i,j=1,2,\cdots$，且级数 $\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}g(x_i,y_i)p_{ij}$ 绝对收敛，则
$EZ=E[g(X,Y)]=\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}g(x_i,y_i)p_{ij}$
(2) 若二维连续型随机变量 $(X,Y)$ 的密度函数为 $f(x,y)$，且积分 $\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy$ 绝对收敛，则
$EZ=E[g(X,Y)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy$
特别地，当 $(X,Y)$ 是连续型随机变量时，X，Y 的数学期望分别为
$EX=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x,y)dxdy$

$EY=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}yf(x,y)dxdy$

4.1.4 数学期望的性质

设 $X,Y$ 为随机变量，且 $EX,EY$ 存在.

• $EC=C$.

• $E(aX+bY)=aEX+bEY$.

• $E(aX)=aEX, E(X+Y)=EX+EY$.

• $E(kX+b)=kEX+b$

• 若 $X,Y$ 相互独立，则有 $E(XY)=(EX)(EY)$.

• 若 $X\geq 0$，则有 $EX \geq 0$；若 $X\leq Y$，则有 $EX \leq EY$.

• $|EX|\leq E|X|$ .

4.2 随机变量的方差

方差的的定义

定义 4.3 设 $X$ 为随机变量,若 $E(X-EX)^2$ 存在，则称它为随机变量 $X$ 的方差，记为 $DX$ 。即
$DX=E(X-EX)^2$
而 $\sqrt{DX}$ 称为随机变量 $X$ 的标准差或均方差.

离散型： $DX=\sum_{k}(x_k-EX)^{2}p_k$

连续型： $DX=\int_{-\infty}^{+\infty}(x-EX)^2f(x)dx$

常用的计算随机变量方差的另一公式：
$DX=E(X^2)-(EX)^2$

方差的性质

• $DC=0$
• 对任一随机变量 $X$ 有 $DX\geq 0$. $DX=0$ 的充要条件是存在常数 C, 使得 $P(X=C)=1$.
• $D(CX+b)=C^2DX$
• $D(X\pm Y)=DX+DY\pm 2E[(X-EX)(Y-EY)]$
• 特别地，若 X 与 Y 独立，则有 $D(X\pm Y)=DX+DY$ （注意最后一定是+）
• 对任意常数 $C\neq EX$，有 $DX=E(X-EX)^2<E(X-C)^2$

标准化：
$X^*=\frac{X-EX}{\sqrt{DX}}$

$EX^*=0$

$DX^*=1$

$证明：EX^*=E(\frac{X-EX}{\sqrt{DX}})=\frac{1}{\sqrt{DX}}(EX-EX)=0$

$证明：DX^*=\frac{1}{DX}D(X-EX)=\frac{DX}{DX}=1$

常见分布的期望和方差：

分布	定义	EX	DX
0-1分布	$P(X=k)=p^k(1-p)^{1-k}，k=0,1,2,\cdots$	$p$	$pq$
二项分布 $B(n,p)$	$P(X=k)=C_n^k p^kq_{n-k}，k=0,1,2,\cdots$	$np$	$npq$
几何分布 $G(p)(1<p<1)$	$P(X=k)=(1-p)^{k-1}p，k=1,2,\cdots$	$\frac{1}{p}$	$\frac{1-p}{p^2}$
泊松分布 $P(\lambda)(\lambda>0)$	$P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}，k=0,1,2,\cdots$	$\lambda$	$\lambda$
均匀分布	$f(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a}, & x\in [a,b] \\ 0, & else \end{cases}$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a)^2}{12}$
指数分布 $E(\lambda)(\lambda>0)$	$f(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x>0 \\ 0, & else \end{cases}$	$\frac{1}{\lambda}$	$\frac{1}{\lambda ^2}$
正态分布 $N(\mu,\sigma ^2)(\sigma>0)$	$N(\mu,\sigma ^2)(\sigma>0)$	$\mu$	$\sigma ^2$