展欧几里德算法详解

2012年07月25日 21:49:04

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扩展欧几里德算法

谁是欧几里德？自己百度去

先介绍什么叫做欧几里德算法

有两个数 a b，现在，我们要求 a b 的最大公约数，怎么求？枚举他们的因子？不现实，当 a b 很大的时候，枚举显得那么的naïve ，那怎么做？

欧几里德有个十分又用的定理： gcd(a, b) = gcd(b , a%b) ，这样，我们就可以在几乎是 log 的时间复杂度里求解出来 a 和 b 的最大公约数了，这就是欧几里德算法，用 C++ 语言描述如下：

由于是用递归写的，所以看起来很简洁，也很好记忆。那么什么是扩展欧几里德呢？

现在我们知道了 a 和 b 的最大公约数是 gcd ，那么，我们一定能够找到这样的 x 和 y ，使得: a*x + b*y = gcd 这是一个不定方程（其实是一种丢番图方程），有多解是一定的，但是只要我们找到一组特殊的解 x0 和 y0 那么，我们就可以用 x0 和 y0 表示出整个不定方程的通解：

x = x0 + (b/gcd)*t

y = y0 – (a/gcd)*t

为什么不是：

x = x0 + b*t

y = y0 – a*t

这个问题也是在今天早上想通的，想通之后忍不住喷了自己一句弱逼。那是因为：

b/gcd 是 b 的因子， a/gcd 是 a 的因子是吧？那么，由于 t的取值范围是整数，你说 (b/gcd)*t 取到的值多还是 b*t 取到的值多？同理，(a/gcd)*t 取到的值多还是 a*gcd 取到的值多？那肯定又要问了，那为什么不是更小的数，非得是 b/gcd 和a/gcd ？

注意到：我们令 B = b/gcd ， A = a、gcd ，那么，A 和 B 一定是互素的吧？这不就证明了最小的系数就是 A 和 B 了吗？要是实在还有什么不明白的，看看《基础数论》（哈尔滨工业大学出版社），这本书把关于不定方程的通解讲的很清楚

现在，我们知道了一定存在 x 和 y 使得： a*x + b*y = gcd ，那么，怎么求出这个特解 x 和 y 呢？只需要在欧几里德算法的基础上加点改动就行了。

我们观察到：欧几里德算法停止的状态是： a= gcd ， b = 0 ，那么，这是否能给我们求解 x y 提供一种思路呢？因为，这时候，只要 a = gcd 的系数是 1 ，那么只要 b 的系数是 0 或者其他值（无所谓是多少，反正任何数乘以 0 都等于 0 但是a 的系数一定要是 1），这时，我们就会有： a*1 + b*0 = gcd

当然这是最终状态，但是我们是否可以从最终状态反推到最初的状态呢？

假设当前我们要处理的是求出 a 和 b的最大公约数，并求出 x 和 y 使得 a*x + b*y= gcd ，而我们已经求出了下一个状态：b 和 a%b 的最大公约数，并且求出了一组x1 和y1 使得： b*x1 + (a%b)*y1 = gcd ，那么这两个相邻的状态之间是否存在一种关系呢？

我们知道： a%b = a - (a/b)*b（这里的 “/” 指的是整除，例如 5/2=2 , 1/3=0），那么，我们可以进一步得到：

gcd = b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1

= b*x1 + a*y1 – (a/b)*b*y1

= a*y1 + b*(x1 – a/b*y1)

对比之前我们的状态：求一组 x 和 y 使得：a*x + b*y = gcd ，是否发现了什么？

这里：

x = y1

y = x1 – a/b*y1

以上就是扩展欧几里德算法的全部过程，依然用递归写：

依然很简短，相比欧几里德算法，只是多加了几个语句而已。

这就是理论部分，欧几里德算法部分我们好像只能用来求解最大公约数，但是扩展欧几里德算法就不同了，我们既可以求出最大公约数，还可以顺带求解出使得： a*x + b*y = gcd 的通解 x 和 y

扩展欧几里德有什么用处呢？

求解形如 a*x +b*y = c 的通解，但是一般没有谁会无聊到让你写出一串通解出来，都是让你在通解中选出一些特殊的解，比如一个数对于另一个数的乘法逆元

什么叫乘法逆元？

这里，我们称 x 是 a 关于 m 的乘法逆元

这怎么求？可以等价于这样的表达式： a*x + m*y = 1

看出什么来了吗？没错，当gcd(a , m) != 1 的时候是没有解的这也是 a*x + b*y = c 有解的充要条件： c % gcd(a , b) == 0

接着乘法逆元讲，一般，我们能够找到无数组解满足条件，但是一般是让你求解出最小的那组解，怎么做？我们求解出来了一个特殊的解 x0 那么，我们用 x0 % m其实就得到了最小的解了。为什么？

可以这样思考：

x 的通解不是 x0 + m*t 吗？

那么，也就是说， a 关于 m 的逆元是一个关于 m 同余的，那么根据最小整数原理，一定存在一个最小的正整数，它是 a 关于m 的逆元，而最小的肯定是在（0 , m）之间的，而且只有一个，这就好解释了。

可能有人注意到了，这里，我写通解的时候并不是 x0 + (m/gcd)*t ，但是想想一下就明白了，gcd = 1，所以写了跟没写是一样的，但是，由于问题的特殊性，有时候我们得到的特解 x0 是一个负数，还有的时候我们的 m 也是一个负数这怎么办？

当 m 是负数的时候，我们取 m 的绝对值就行了，当 x0 是负数的时候，他模上 m 的结果仍然是负数（在计算机计算的结果上是这样的，虽然定义的时候不是这样的），这时候，我们仍然让 x0 对abs(m) 取模，然后结果再加上abs(m) 就行了，于是，我们不难写出下面的代码求解一个数 a 对于另一个数 m 的乘法逆元：

还有最小整数解之类的问题，但都是大同小异，只要细心的推一推就出来了，这里就不一一介绍了，下面给一些题目还有AC代码，仅供参考

ZOJ 3609 ：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=4712 求最小逆元

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <string>
#include <queue>
#include <stack>
#include <algorithm>
#define INF 0x7fffffff
#define EPS 1e-12
#define MOD 1000000007
#define PI 3.141592653579798
#define N 100000
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef double DB;
LL e_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
LL ans=e_gcd(b,a%b,x,y);
LL temp=x;
x=y;
y=temp-a/b*y;
return ans;
}
LL cal(LL a,LL b,LL c)
{
LL x,y;
LL gcd=e_gcd(a,b,x,y);
if(c%gcd!=0) return -1;
x*=c/gcd;
b/=gcd;
if(b<0) b=-b;
LL ans=x%b;
if(ans<=0) ans+=b;
return ans;
}
int main()
{
LL a,b,t;
scanf("%lld",&t);
while(t--)
{
scanf("%lld%lld",&a,&b);
LL ans=cal(a,b,1);
if(ans==-1) printf("Not Exist\n");
else printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}

ZOJ 3593 http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3593 求最小的步数，处理特殊一点就过去了

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <string>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <algorithm>
#define INF 0x7fffffff
#define EPS 1e-12
#define MOD 100000007
#define PI 3.14159265357979823846
#define N 100005
using namespace std;
typedef long long LL;
LL e_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
LL ans=e_gcd(b,a%b,x,y);
LL temp=x;
x=y;
y=temp-a/b*y;
return ans;
}
LL cal(LL a,LL b,LL L)
{
LL x,y;
LL gcd=e_gcd(a,b,x,y);
if(L%gcd!=0) return -1;
x*=L/gcd;
y*=L/gcd;
a/=gcd;
b/=gcd;
LL ans=((LL)INF)*((LL)INF), f;
LL mid=(y-x)/(a+b);
for(LL T=mid-1;T<=mid+1;T++)
{
if(abs(x+b*T)+abs(y-a*T)==abs(x+b*T+y-a*T))
f=max(abs(x+b*T),abs(y-a*T));
else
f=fabs(x-y+(a+b)*T);
ans=min(ans,f);
}
return ans;
}
int main()
{
//freopen("in.in","r",stdin);
//freopen("out.out","w",stdout);
LL A,B,a,b,x,y;
int t; scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%lld%lld%lld%lld",&A,&B,&a,&b);
LL L=B-A;
LL ans=cal(a,b,L);
if(ans==-1) printf("-1\n");
else printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}

POJ 1061 http://poj.org/problem?id=1061 青蛙的约会，裸的扩展欧几里得

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <string>
#include <queue>
#include <stack>
#include <algorithm>
#define INF 0x7fffffff
#define EPS 1e-12
#define MOD 1000000007
#define PI 3.141592653579798
#define N 100000
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef double DB;
LL e_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
LL ans=e_gcd(b,a%b,x,y);
LL temp=x;
x=y;
y=temp-a/b*y;
return ans;
}
LL cal(LL a,LL b,LL c)
{
LL x,y;
LL gcd=e_gcd(a,b,x,y);
if(c%gcd!=0) return -1;
x*=c/gcd;
b/=gcd;
if(b<0) b=-b;
LL ans=x%b;
if(ans<=0) ans+=b;
return ans;
}
int main()
{
LL x,y,m,n,L;
while(scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&L)!=EOF)
{
LL ans=cal(m-n,L,y-x);
if(ans==-1) printf("Impossible\n");
else printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}

HDU 1576 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1576 做点处理即可

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <string>
#include <queue>
#include <stack>
#include <algorithm>
#define INF 0x7fffffff
#define EPS 1e-12
#define MOD 1000000007
#define PI 3.141592653579798
#define N 100000
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef double DB;
LL e_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
LL ans=e_gcd(b,a%b,x,y);
LL temp=x;
x=y;
y=temp-a/b*y;
return ans;
}
LL cal(LL a,LL b,LL c)
{
LL x,y;
LL gcd=e_gcd(a,b,x,y);
if(c%gcd!=0) return -1;
x*=c/gcd;
b/=gcd;
if(b<0) b=-b;
LL ans=x%b;
if(ans<=0) ans+=b;
return ans;
}
int main()
{
LL n,b,t;
scanf("%I64d",&t);
while(t--)
{
scanf("%I64d%I64d",&n,&b);
LL ans=cal(b,9973,n);
if(ans==-1) printf("Impossible\n");
else printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}

HDU 2669 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2669 裸的扩展欧几里得

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <string>
#include <queue>
#include <stack>
#include <algorithm>
#define INF 0x7fffffff
#define EPS 1e-12
#define MOD 1000000007
#define PI 3.141592653579798
#define N 100000
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef double DB;
LL e_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
LL ans=e_gcd(b,a%b,x,y);
LL temp=x;
x=y;
y=temp-a/b*y;
return ans;
}
LL cal(LL a,LL b,LL c)
{
LL x,y;
LL gcd=e_gcd(a,b,x,y);
if(c%gcd!=0) return -1;
x*=c/gcd;
b/=gcd;
if(b<0) b=-b;
LL ans=x%b;
if(ans<=0) ans+=b;
return ans;
}
int main()
{
LL a,b;
while(scanf("%I64d%I64d",&a,&b)!=EOF)
{
LL ans=cal(a,b,1);
if(ans==-1) printf("sorry\n");
else printf("%I64d %I64d\n",ans,(1-ans*a)/b);
}
return 0;
}

暂时就这么多了吧

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