（扩展）欧几里得算法

【欧几里得算法】

在介绍扩展欧几里得算法之前，我先简单介绍一下欧几里得算法

欧几里得算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a，b的最大公约数。

下面的 gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，mod 是取余，div 是整除

其中有一个定理：gcd（a，b）= gcd（b，a mod b）

证明摘自百度（链接戳这里）

证明：a可以表示成 a = kb + r，则 r = a mod b

假设 d 是 a , b 的一个公约数，则有

d | a, d | b，而 r = a - kb，因此d | r

因此d是 ( b , a mod b ) 的公约数

假设d 是 ( b , a mod b ) 的公约数，则

d | b , d | r ，但是 a = kb + r

因此d也是 ( a , b ) 的公约数

那么 ( a , b ) 和 ( b , a mod b ) 的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

所以说若我们不断地这样除下去，直到 a mod b 等于 0 时，答案就是 b

代码如下：

int gcd(int a,int b)
{
	int r=a%b;
	while(r!=0)
	{
		a=b;
		b=r;
		r=a%b;
	}
	return b;
}

【扩展欧几里得算法】

那么接下来是我们的重头戏——扩展欧几里得算法

定理：若 a，b 不全为 0，则存在整数 x 和 y，使得 ax + by = gcd（a，b）

有些问题要我们求出这样的方程的一组整数解

推导过程如下：

若  ，那么 

我们可以找出一组  满足 

一直这样下去（这是一个递归的过程），直到  时，此时  就是一组合法的解，再代回去就行了

代码如下：

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
}

【例题】

例题传送门同余方程

这道题主要是要把原问题转换成 ax + by = 1 的形式，然后就可以用扩欧了

还有由于 x 要是正整数，所以输出答案时我们要把它转成正的，即 x = ( x + b ) % b

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
}
int main()
{
	int a,b,x,y;
	scanf("%d%d",&a,&b);
	exgcd(a,b,x,y);
	printf("%d",(x+b)%b);
	return 0;
}

另外，再推荐一道例题青蛙的约会，也是一道裸的模板题，A了可以去洛谷交一下这道题，感觉洛谷的数据强一些