【题解】[CQOI2007]涂色

题目

题目描述

假设你有一条长度为 55 的木版，初始时没有涂过任何颜色。你希望把它的 $5$个单位长度分别涂上红、绿、蓝、绿、红色，用一个长度为 $5$的字符串表示这个目标：RGBGR。

每次你可以把一段连续的木版涂成一个给定的颜色，后涂的颜色覆盖先涂的颜色。例如第一次把木版涂成 RRRRR，第二次涂成 RGGGR，第三次涂成 RGBGR，达到目标。

用尽量少的涂色次数达到目标。

输入格式

输入仅一行，包含一个长度为 $n$的字符串，即涂色目标。字符串中的每个字符都是一个大写字母，不同的字母代表不同颜色，相同的字母代表相同颜色。

输出格式

仅一行，包含一个数，即最少的涂色次数。

输入输出样例

输入 #1

AAAAA

输出 #1

1

输入 #2

RGBGR

输出 #2

3

说明/提示

$40\%$ 的数据满足 $1\le n\le10$。

$100\%$ 的数据满足 $1\le n\le 50$。

题解

我们把问题抽象成为一个长度为 $n$的字符串 $s$，字符串中每种字母代表一种颜色。 用 $dp[x][y]$表示让区间 $[x, y]$ 满足条件的最小次数。然后我们按照区间长度从小到大枚举每一个区间。

如果s[x] == s[y]

我们可以先把 $[x, y]$整体涂成一个颜色，然后再去处理 $[x + 1, y - 1]$。对应的转移为:

dp[x][y]=min(dp[x][y],dp[x+1][y−1]+1)

或者对于区间 $[x, y - 1]$，因为 $x$是最边上的位置，所以最优情况下，一定可以第一个涂 $x$位置，这样我们可以让这次涂色延长到 $y$，这样实际上 $y$就顺带满足条件了，区间 $[x + 1, y]$也是同样原理，对应的转移为:

dp[x][y]=min(dp[x][y−1],dp[x+1][y])

如果s[x] != s[y]

那么实际上 $x$和 $y$没有关系，所以我们可以把区间分成两部分来完成，一部分包含 $x$，一部分包含 $y$。对应的转移为:

∀ x≤k<y,dp[x][y]=min(dp[x][y],dp[x][k]+dp[k+1][y])

代码

按照刚才的分析，可以得到如下代码：

#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int dp[55][55];
int main(){
    string s;
    cin>>s;
    memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
    for(int i=0;i<s.size();i++){
        dp[i][i]=1;
    }
    for(int l=2;l<=s.size();l++){
        for(int i=0;i<s.size()-l+1;i++){
            int j=i+l-1;
            if(s[i]==s[j]){
                if(l==2){
                    dp[i][j]=1;
                }
                else{
                    dp[i][j]=min(min(dp[i+1][j],dp[i][j-1]),dp[i+1][j-1]+1);
                }
            }else{
                for(int k=i;k<j;k++){
                    dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]);
                }
            }
        }
    }
    cout<<dp[0][s.size()-1]<<endl;
    return 0;
}