【递推型 dp】A004_LC_统计元音字母序列的数目（按条件递推）

一、Problem

给你一个整数 n，请你帮忙统计一下我们可以按下述规则形成多少个长度为 n 的字符串：

字符串中的每个字符都应当是小写元音字母（‘a’, ‘e’, ‘i’, ‘o’, ‘u’）
每个元音 ‘a’ 后面都只能跟着 ‘e’
每个元音 ‘e’ 后面只能跟着 ‘a’ 或者是 ‘i’
每个元音 ‘i’ 后面 不能 再跟着另一个 ‘i’
每个元音 ‘o’ 后面只能跟着 ‘i’ 或者是 ‘u’
每个元音 ‘u’ 后面只能跟着 ‘a’
由于答案可能会很大，所以请你返回 模 10^9 + 7 之后的结果。

输入：n = 1
输出：5
解释：所有可能的字符串分别是："a", "e", "i" , "o" 和 "u"。

输入：n = 2
输出：10
解释：所有可能的字符串分别是："ae", "ea", "ei", "ia", "ie", "io", "iu", "oi", "ou" 和 "ua"。

提示：

1 <= n <= 2 * 10^4

二、Solution

方法一：dp

• 定义状态：
  • $f[i][c]$ 表示字符串长为 i 且以字符 c 结尾的合法字符串个数
• 思考初始化：
  • $f[1][a...u] = 1$
• 思考状态转移方程：
  • 当前字符为 a 时，前面的字符可以为 e,u,i，f[i][0] = (f[i-1][1] + f[i-1][4] + f[i-1][2]) % mod，下面同理。。。
  • …
• 思考输出： $sum(f[n][a...u])$

class Solution {
    public int countVowelPermutation(int n) {
        long f[][] = new long[n+1][5];
        int mod = (int)1e9+7;
        for (int i = 0; i < 5; i++) 
        	f[1][i] = 1;
        
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            f[i][0] = (f[i-1][1] + f[i-1][4] + f[i-1][2]) % mod;  // e,u,i
            f[i][1] = (f[i-1][0] + f[i-1][2]) % mod;              // a,i,
            f[i][2] = (f[i-1][1] + f[i-1][3]) % mod;              // e,o
            f[i][3] = (f[i-1][2]) % mod;                          // i,
            f[i][4] = (f[i-1][2] + f[i-1][3]) % mod;              // i,o
        }
        long ans = 0;
        for (int i = 0; i < 5; i++) 
            ans = (ans + f[n][i]) % mod;
        return (int) ans;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度： $O(n)$，
• 空间复杂度： $O(n)$，