1. 域的概念
定义：有 + - x / 运算 并且在自身范围内闭合的集合叫做域：比如 ；实数域 R；复数域 F ；反面的例子就是 自然数的集合，自然数的集合不是域，因为它不满足做完 四则运算后的取值还在自然数的集合内。
2. 线性空间的概念
定义：线性空间，通俗讲就是域的一个翻版，只不过这个集合不再是普通数的集合；更可能是很多向量的集合：设一个非空集合 V ;从V 里面选两个元素做加法，得到的新的元素仍然属于V。从V里面选一个元素；再从某个数域里选一个元素；做乘法；得到的新元素仍然属于V；
我们就称这样的集合V是线性空间。
3. 向量的线性相关性
定义： V 是在数域F的线性空间 ；对 V 中的 a1,a2,a3....ar; 与 F中不全为0的 k1,k2,k3....kr 使得 k1xa1 + k2xa2 +....+ krxar = 0;那么：a1,a2,a3....ar就是线性相关的。
习题：P5 例1.1.11
4. 基与坐标，坐标变换
基：就是在数域F上的线性空间V的一组最大线性无关组。
基的维数就是最大无关组的维数： 习题：p6 例1.2.1/2/3/4（1.证哪几个向量是线性无关的；2.证这几个线性无关的向量可以表示任何在V中的元素）
5. 基变换和坐标变换
基有很多；从某个基到另一个基：B = AP ; 这个P就是过渡矩阵。
P = A逆B
道理相同：如果在基A上某个点的坐标是（x1,x2,x3...）那么它在基B上的坐标就是P逆（x1,x2,x3...）。
习题：例1.2.6
6. 线性子空间
线性子空间：就是从一个在F域上的V线性空间上的子集合，子集合本身如果也满足线性空间的的定义。
平凡子空间：从V中只挑了一个0组成集合或直接把V看成子空间，这两种情况就是平凡子空间。
p13 习题：例1.3.2
生成子空间：span{a1,a2,....ar}; 这就构成了V的子集合。一般子空间就如此表示
矩阵的和空间：V1+V2
矩阵的交空间：V1^V2
习题：p14 例1.3.5/6
定理：dim(v1)+dim(v2) = dim(v1+v2)+dim(v1^v2)
当 dim(v1^v2) = 0时；称 v1+v2这个和空间是直和；v1和v2 之间互补。
7. 线性映射
先验知识：加法可以理解为映射；加法就是先从V里面挑出两个元素（也就是从V的卡氏集中选一个元素）；通过映射得到一个新的元素。通过这个映射，两个自变量变成了一个因变量。即是：
线性映射的定义：就像信号与系统里的一样，输入和输出：满足齐次性 和 叠加性；
判断是否线性映射：
解：带入定义：v1中选[a1 a2] [a2 a4]这俩个看看这两个向量本身的加法；是否和映射的加法相等
总结就是一句话：元素先映射，相加 是不是等于 元素先相加在映射的值；这两者应该不矛盾才是线性映射。