这是对
A mathematical model of the sleep/wake cycle (2010)这篇论文理论部分的一个总结。
下图描述了这篇论文建立的生物学模型：
SCN是视交叉上核或称下丘脑视交叉上核（suprachiasmatic nucleus, SCN）是昼夜节律调节系统的中枢结构；
ORX是食欲肽（orexin），又名下丘脑泌素（hypocretin），它的作用是使中枢神经处于清醒状态，也掌控食欲；
VLPO是The ventrolateral preoptic nucleus (VLPO)，它是sleep-promoting
AMIN是wake-promoting monoaminergic cell groups，可以简单理解为（通过单胺类神经递质的传递）让人清醒的细胞群；
HOM是睡眠稳态调节器，它不是某个具体的生物组织，而是一种负反馈，清醒的时候会增加，睡着的时候会减少；
REM是rapid eye movement，快速动眼期，它是睡眠的一个阶段，在此阶段时眼球会快速移动，同时身体肌肉放松，大脑的神经元的活动与清醒的时候相同，多数在醒来后能够回忆起来的梦都是在REM睡眠发生的。与之相对的是非快速动眼期NREM，non-rapid eye movement，在这段睡眠期间，大脑的活动下降到最低，使得人体能够得到完全的舒缓。不同于快速动眼睡眠，在这段期间眼球几乎没有运动，也很少做梦。同一个睡眠周期中，REM和NREM是交替进行的。REM-on是启动REM的神经，REM-off是抑制REM的神经。
eVLPO（extended VLPO）是VLPO细胞群的一部分。Rempe, Best, Terman (2010)在模型中把VLPO分为clustered VLPO与extended VLPO，eVLPO会抑制REM-off，clVLPO会抑制eVLPO；
左右的那两个I表示给对应的神经区域一定的刺激；
现在讨论他们之间的相互关系：
在一个完整的睡眠中，REM和NREM是交替进行的。REM-on会激活REM，REM-off抑制REM使身体进入NREM状态，二者是互相抑制的关系。另外eVLPO会抑制REM-off，AMIN会抑制REM-on，但eVLPO会被VLPO抑制。
VLPO和AMIN可以用ODE建模，这个模型叫Morris–Lecar system，睡眠-清醒的调节过程用处理神经元激活/抑制的Hodgkin–Huxley model的简化版本。记
x
V
x_V
x V
x
A
x_A
x A
x
A
<
0
x_A<0
x A < 0
x
A
>
0
x_A>0
x A > 0
δ
V
x
V
′
=
f
V
(
x
V
,
y
V
)
−
I
A
M
I
N
−
I
S
C
N
+
I
H
O
M
+
(
I
0
V
+
I
n
V
)
y
V
′
=
g
V
(
x
V
,
y
V
)
\delta_V x_V' = f_V(x_V,y_V)-I_{AMIN} - I_{SCN} + I_{HOM} + (I_0^V + I_n^V) \\ y_V' = g_V(x_V,y_V)
δ V x V ′ = f V ( x V , y V ) − I A M I N − I S C N + I H O M + ( I 0 V + I n V ) y V ′ = g V ( x V , y V )
AMIN可以表示为：
δ
A
x
A
′
=
f
A
(
x
A
,
y
A
)
−
I
V
L
P
O
+
I
O
R
X
−
I
H
O
M
+
(
I
0
A
+
I
n
A
)
y
A
′
=
g
A
(
x
A
,
y
A
)
\delta_A x_A' = f_A(x_A,y_A)-I_{VLPO} + I_{ORX} - I_{HOM} + (I_0^A + I_n^A) \\ y_A' = g_A(x_A,y_A)
δ A x A ′ = f A ( x A , y A ) − I V L P O + I O R X − I H O M + ( I 0 A + I n A ) y A ′ = g A ( x A , y A )
I
I
I
I
0
V
I_0^V
I 0 V
I
n
V
I_n^V
I n V
δ
V
,
δ
A
\delta_V,\delta_A
δ V , δ A
f
(
x
,
y
)
=
3
x
−
x
3
+
2
−
y
,
g
(
x
,
y
)
=
ϵ
(
γ
H
∞
(
x
)
−
y
/
τ
(
x
)
)
f(x,y) = 3x - x^3 + 2 - y,\ \ g(x,y) = \epsilon(\gamma H_{\infty}(x)-y/ \tau(x))
f ( x , y ) = 3 x − x 3 + 2 − y , g ( x , y ) = ϵ ( γ H ∞ ( x ) − y / τ ( x ) )
H
∞
(
x
)
=
0.5
tanh
(
x
/
0.01
)
H_{\infty}(x) = 0.5 \tanh(x/0.01)
H ∞ ( x ) = 0 . 5 tanh ( x / 0 . 0 1 )
τ
(
x
)
=
τ
2
+
(
τ
2
−
τ
1
)
H
∞
(
x
)
\tau(x) = \tau_2 + (\tau_2 - \tau_1)H_{\infty}(x)
τ ( x ) = τ 2 + ( τ 2 − τ 1 ) H ∞ ( x )
τ
1
\tau_1
τ 1
τ
2
\tau_2
τ 2
I
V
L
P
O
=
g
V
L
P
O
H
∞
(
x
V
)
,
I
A
M
I
N
=
g
A
M
I
N
H
∞
(
x
A
)
I_{VLPO} = g_{VLPO}H_{\infty}(x_V),\ \ I_{AMIN} = g_{AMIN}H_{\infty}(x_A)
I V L P O = g V L P O H ∞ ( x V ) , I A M I N = g A M I N H ∞ ( x A )
g
V
L
P
O
,
g
A
M
I
N
g_{VLPO},g_{AMIN}
g V L P O , g A M I N
I
S
C
N
=
g
S
C
N
C
(
t
)
I_{SCN} = g_{SCN}C(t)
I S C N = g S C N C ( t )
g
S
C
N
g_{SCN}
g S C N
C
(
t
)
C(t)
C ( t )
I
H
O
M
=
g
H
O
M
h
(
t
)
I_{HOM} = g_{HOM}h(t)
I H O M = g H O M h ( t )
h
(
t
)
h(t)
h ( t )
h
′
(
t
)
=
α
h
(
h
m
a
x
−
h
)
I
(
x
A
>
0
)
−
β
h
h
I
(
x
A
<
0
)
h'(t) = \alpha_h(h_{max}-h)I(x_A>0) - \beta_h hI(x_A <0)
h ′ ( t ) = α h ( h m a x − h ) I ( x A > 0 ) − β h h I ( x A < 0 )
类似地，对REM-on和REM-off细胞群用ODE建模，REM-on的模型是：
δ
R
x
R
′
=
σ
(
f
R
(
x
R
,
y
R
)
−
I
A
M
I
N
−
I
N
R
E
M
+
(
I
0
R
+
I
n
R
)
)
y
R
′
=
σ
g
R
(
x
R
,
y
R
)
\delta_R x_R' =\sigma( f_R(x_R,y_R)-I_{AMIN} - I_{NREM} + (I_0^R + I_n^R)) \\ y_R' = \sigma g_R(x_R,y_R)
δ R x R ′ = σ ( f R ( x R , y R ) − I A M I N − I N R E M + ( I 0 R + I n R ) ) y R ′ = σ g R ( x R , y R )
REM-off的模型是：
δ
N
x
N
′
=
σ
(
f
N
(
x
N
,
y
N
)
−
I
e
V
L
P
O
−
I
R
E
M
+
(
I
0
N
+
I
n
N
)
)
y
N
′
=
σ
g
N
(
x
N
,
y
N
)
\delta_N x_N' =\sigma( f_N(x_N,y_N)-I_{eVLPO} - I_{REM} + (I_0^N + I_n^N)) \\ y_N' = \sigma g_N(x_N,y_N)
δ N x N ′ = σ ( f N ( x N , y N ) − I e V L P O − I R E M + ( I 0 N + I n N ) ) y N ′ = σ g N ( x N , y N )
其中
δ
R
,
δ
N
\delta_R,\delta_N
δ R , δ N
σ
\sigma
σ
x
e
′
=
x
e
+
(
c
e
−
a
e
h
e
(
x
V
+
c
v
,
k
x
,
v
)
−
b
e
h
e
(
x
A
,
k
x
)
)
x_e' = x_e + (c_e - a_eh_e(x_V+c_v,k_{x,v})-b_eh_e(x_A,k_{x}))
x e ′ = x e + ( c e − a e h e ( x V + c v , k x , v ) − b e h e ( x A , k x ) )
h
e
(
x
,
k
)
=
0.5
tanh
(
x
/
k
)
h_e(x,k) = 0.5\tanh(x/k)
h e ( x , k ) = 0 . 5 tanh ( x / k )
a
e
,
b
e
,
c
e
,
c
v
,
k
x
,
v
,
k
x
a_e,b_e,c_e,c_v,k_{x,v},k_x
a e , b e , c e , c v , k x , v , k x
I
e
V
L
P
O
=
g
e
V
L
P
O
x
e
I_{eVLPO} = g_{eVLPO}x_e
I e V L P O = g e V L P O x e
