3D数学2-基础矩阵

05/09/2020

向量是标量的数组，矩阵则是向量的数组

矩阵的维度

• 先行再列，4行3列表示：4 X 3 矩阵，例子如下

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ 10 & 11 & 12 \end{bmatrix}$

• 下标表示元素处于的位置
  $\begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{bmatrix}$

方阵

行数和列数相同的矩阵，例如 1 X 1, 2 X 2, 3 X 3 矩阵

• 对角线元素和非对角线元素
  • 对角元素表示，下标列和行都相等，基本就是左上角到右下角那一条对角线
• 对角矩阵：非对角元素都为0，例子如下
  $\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 &4 \end{bmatrix}$
• 单位矩阵，对角线元素为1，其他元素为0
  • 矩阵乘单位矩阵还是依然是原矩阵
    $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

向量作为矩阵使用

向量可以用矩阵表示，n维向量可以表示n X 1 或者 1 X n

转置

沿着矩阵对角线翻折, 公式如下：
$M_{ij}^T=M_{ji}$

• 转置两次的矩阵等于自己， (M^T)^T = M
• 任意对角矩阵(除了一条对角线，其他都是0)，转置一次还是自己

矩阵乘法

• 矩阵相乘需要匹配
• 矩阵相乘不满足交换律： AB ！= BA
• 满足交换律： (AB)CD = A(BC)D = (ABC)D 等等其他组合
• 矩阵的倒置：(AB)^T = B^TA^T

向量与矩阵的乘法

$\begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13}\\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} xm_{11} +ym_{12} +zm_{13}\\ xm_{21} +ym_{22} +zm_{23} \\ xm_{31} +ym_{32} + zm_{33} \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13}\\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} xm_{11}+ym_{21} +zm_{31}&xm_{12} +ym_{22} +zm_{33} &xm_{13} + ym_{23} + zm_{33} \end{bmatrix}$

注意事项

• 结果向量中的每个元素都是原向量与矩阵中单独行或列的点积
  比如:
  $\begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} m_{11 }\\ m_{21} \\ m_{31} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} xm_{11}+ym_{21} +zm_{31} \end{bmatrix}$
• 矩阵中的个元素决定了输入向量特定元素在输出向量中占的比重。如m₁₁决定了输入x对输出x值得贡献
• 分配率：（v+w）M = vM + wM （ v，w是向量，M是矩阵）

行向量与列向量的区别

• 各分量的结果完全不同
• 读法不一致
  • vABC，行向量v从左到右分别被矩阵ABC转换
  • CBAv，列向量v从右往左分别分矩阵ABC转换
• DirectX使用的行向量

矩阵的几何解释

如果把矩阵的行解释为坐标系的基向量，那么乘以该矩阵就相当于执行了一次坐标转换，若有aM = b, 我们就可以说，M将a转换到b，所以说乘法和转换是等价的

• 一个矩阵表示一个变换
• 矩阵的每一行表示为基向量，相当于对x,y,z轴就行变换。

比如：在空间中你有三个轴，x,y,z轴,假设基向量分别是[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]
先看一下[1,0,0]与任意矩阵相乘的变换：
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13}\\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} m_{11}&m_{12} &m_{13} \end{bmatrix}$
基向量[1,0,0]变换到了另一个向量。所以其他两个基向量分别受到矩阵另外两行的影响。

缩放

用k因子影响向量,现在讨论的是在原点上的缩放。
$\begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13}\\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} kx&0 &0 \end{bmatrix}$

问题

如何得到[kx,0,0]的结果？意味着在x轴对向量[x,y,z]拉伸.
$\begin{bmatrix} k & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 &0 & 0 \end{bmatrix}$
如何获得[kx,ky,kz]? k因子可以不同，表示不规则的缩放，如果是负数表示方向是反的。
$\begin{bmatrix} k & 0 & 0\\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & k \end{bmatrix}$

总结

• 方阵的行能被解释为坐标系的基向量
• 为了将向量从原坐标系变换到新坐标系，用它乘以一个矩阵

3DMath 第7章和第8章的矩阵内容