学习 3D数学基础 (向量)

向量

记法

列向量

行向量

维度

v = (1,2)
v = (1,2,3)
v = (1,2,3,4)

向量的大小

几何解释

向量运算

向量和标量相乘除

几何解释

向量相加减

几何解释 (三角形法则)

向量加法满足交换率减法不满足交换率(a+b = b+a , c-d != d-c)

标准化向量

向量点成

几何解释

推导过程

假设$a = (ax, ay)$和$b = (bx, by)$都是二维向量，θ1是a与x轴的夹角，θ2是b与x轴的夹角，向量a与b的夹角θ等于θ1 - θ2。
$a•b = axbx+ayby$
$= (|a|cosθ1|b|cosθ2)+(|a|sinθ1|b|sinθ2)$
$= |a||b|(cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2)$
$= |a||b|(cos(θ1-θ2))$
$= |a||b|cosθ$

向量投影

$VⅡ = |VⅡ|\frac{n}{|n|}$($\frac{n}{|n|}$表示向量的方向)
$|VⅡ| = |V|cosθ$
∵ $V•n = |V||n|cosθ$
∴ $cosθ = \frac{V•n}{|V||n|}$
∴ $VⅡ = n\frac{Vn}{|n|^2}$
∴ $V⊥ = V - VⅡ$
∴ $V⊥ = V - n\frac{Vn}{|n|^2}$

向量叉乘（a×b）

推导过程

假设 i, j, k 为基向量
$a = (u1i, u2j, u3k)$
$b = (v1i, v2j, v3k)$
$a×b = (u1i+u2j+u3k)×(v1i+v2j+v3k)$
$=u1v1(i×i)+u1v2(i×j)+u1v3(i×k)+u2v1(j×i)+u2v2(j×j)+u2v3(j×k)+u3v1(k×i)+u3v2(k×j)+u3v3(k×k)$
∵ $i, j, k 为基向量$
∴ $i×i=j×j=k×k=0$
∴ $i×j=k$
∴ $j×k=i$
∴ $k×i=j$
∴ $j×i=-k$
∴ $k×j=-i$
∴ $i×k=-j$
∴ $a×b = (u2v3−u3v2)i+(u3v1−u1v3)j+(u1v2−u2v1)k$

几何解释

$|a×b| =|a||b|sinθ$