2_矩阵_《3D图形编程基础——基于DirectX11》笔记

二、矩阵

​ 在三维计算机图形学中，使用矩阵描述几何变换，比如平移，旋转，缩放等；通过运算将向量或点从一个空间转换到另一个空间。本章讲解矩阵的概念及其运算。

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目标：

1. 矩阵的定义
2. 矩阵的运算
3. XNA库中矩阵的表示和操作

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2.1 矩阵的定义

​ $m \times n$矩阵是一个由m行、n列数字组成的二维表。表示如下：

$$\mathbf{A} = \mathbf{A}_{mn} = (a_{ij})_{m\times n}= \begin{vmatrix} a_{00} & \dots & a_{0(n-1)} \\ a_{10} & \dots & a_{1(n-1)} \\ \vdots &\vdots &\vdots \\ a_{(n-1)0} & \dots & a_{(n-1)(n-1)} \end{vmatrix}$$
​ 行数和列数相同的矩阵叫做方阵，接下来主要讨论方阵。

2.2 矩阵的运算

2.2.1 矩阵相等、加减法和数乘

• 如果矩阵A和矩阵B维数相同，并且所有对应位置元素都相同，则称这两个矩阵相等，记作$\mathbf{A} = \mathbf{B}$.
• 矩阵数乘：$\mathbf{C}=k\mathbf{A}=(k \cdot a_{ij})_{mn}$
• 矩阵加减法的前提是矩阵维度相同：$\mathbf{C}=\mathbf{A}+\mathbf{B}=(a_{ij} + b_{ij})_{mn}$

2.2.2 矩阵乘法

​ 只有当矩阵A中的列数与矩阵B中的行数相等时，矩阵乘法才有意义。乘法公式为：

$$\mathbf{C}= A_{mn}B_{np}=(c_{ij})_{m\times p},其中c_{ij} = \sum_{k=0}^{n-1}a_{ik}\times b_{kj}$$
​ 矩阵乘法不满足交换律。

2.2.3矩阵转置

​ 把矩阵$A$ 的行转换成相应的列，得到的新矩阵称为$A$的转置矩阵，记作$A^T$。

​ 矩阵转置有以下性质：

• $(A^T)^T = A$
• $(A+B)^T = A^T+B^T$
• $(AB)^T=B^TA^T$ （要证明此性质，只需将矩阵元素展开，比较对应项是否相等）

2.3 单位矩阵

​ 定义：主对角线元素为1，其余元素为0的方阵。n阶单位矩阵记作$I_n$或$E_n$.

2.4 逆矩阵

​ 对于$n \times n$ 方阵$A$，若存在另一个$n \times n$ 方阵$B$，使得$AB=BA=I$，则称 A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵，记作$A^{-1}$。

​ 矩阵A的逆矩阵存在，当且仅当其行列式$det(A)\ne 0$ .

2.5 XNA矩阵

​ XNA库中，最关键的一个类是XMMATRIX，它是通过支持SIMD的SSE及其扩展指令集的支持库Intrisics实现的，是一个实现与平台相关的，非常复杂的，进行16字节对齐的，映射到SSE寄存器的类型。

​ 在XNA数学库中，还定义了另外一些数据结构来表示矩阵，有XMFLOAT3X3，XMFLOAT4X3，XMFLOAT4X4，XMFLOAT4X3A，XMFLOAT4X4A等。在编写程序时，最好避免直接使用XMMATRIX作为类或者结构体的数据成员，而是使用XMFLOAT*X*。

​ 因为对XMMATRIX类型动态分配内存（从堆中分配内存）时可能会出现问题。XMMATRIX是按16字节对齐的，而在X86系统中，堆只能按8字节对齐（但在X64系统中，所有堆都是按16字节对齐的）。

特别的，在X86系统中，XMMATRIX不能再Vector中使用，因为X86系统按8字节对齐的特性决定了按16字节对齐的函数参数不能进行值传递，这会引起编译器报告一个代码未“C2719”的错误。

​ 当XMMATRIX类型变量是在栈中分配，或者是放在数据段中（如作为全局变量）时，编译器会保证变量对齐。在堆中使用XMMATRIX时，可以使用_aligned_molloc和_ _alignedfree来分配和释放内存以保证字节对齐。