[note] 微积分 Part 10 无穷级数（一） 数项级数

无穷级数

一尺之棰，日取其半，万世不竭。——庄子

估算圆周率 $\pi$之类的无理数，核心的方法都和这句话有某种相通之处。思想在于大量的模拟。无穷级数的想法大都是类似这样的大量模拟。

Taylor公式已经具有估算能力了？为什么还需要利用级数来估计呢？
Taylor公式是一个具有一定误差的计算结果，但引入级数，我们的想法就是将这个余项完全消除。

数项级数

准备：柯西收敛原理(略

数项级数

级数

在对背景问题的分析中，从直观上定义级数是一个序列的依次的无限项和。
但这个无限项的和，首先并不是真正的和，因为无限个数相加，结果时常并不是一个数。所以我们利用连加符号，将

形如
$a_1+a_2+\cdots+a_k+\cdots=\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$
的式子称为（无穷）级数，其中 $a_k$称为其通项。

注：

1. 粗略地讲，（无穷）级数正是无穷个数的和式，
2. 由于无穷项并不能完全写出，所以右式是一个形式和。
3. 正因为这个形式性，我们不能直接对级数（作为和式的）最直观性质即值进行讨论。

数项级数举例

• 几何级数：
  $1+q^2+\cdots+q^k+\cdots$
• 无限小数
  $0.a_1a_2\cdots a_k=\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+\cdots+\frac{a_k}{10^k}+\cdots$

前面已经说到，为了利用先前已有的对和式的研究，继续讨论级数，
首先要对这个形式和进行适当的量化，所以我们引入：

数项级数的基本问题——收敛性

微积分的重要思想就是利用有限加极限来认识无限 ——武忠祥

这句话告诉我们，级数的也有类似极限的两大主要问题：

1. 敛散性判别（极限问题）
2. 求极限　　（有限问题）

其中判断敛散性的问题是主要的：

1. 数项级数发散时，题目2无意义；
2. 对一般的数项级数，没有很好的求和方法（这在性质上区别于幂级数和傅里叶级数）

所以，接下来，我们主要从敛散性的角度，借用数项级数来基本熟悉级数的基本理论。

首先引入一个概念，这是我们讨论收敛的基础。

部分和

设 $\sum\limits_{k=1}^\infty a_k$是一个级数，那么我们称
$S_n = \sum\limits_{k=1}^n a_k$
是原级数的部分和。

用极限的语言说，级数对应着数列极限，而这个数列就是部分和，

收敛的定义——证明题的依据

若 $\lim\limits_{n\to\infty}S_n=S\in\R$，则我们称原级数收敛，称为该级数的和。
若部分和序列无极限，则称原级数发散。

收敛举例

等比级数（ $\ast$）

1. $q=1$
   $S_n=na\to\infty$
   不收敛

2. $q=-1$
   $S_n=a-a+a-a+\cdots+(-1)^{n-1}a$
   $=\begin{cases} 0, n=2k\\ a,n=2k=1\\ \end{cases}$
   不收敛

3. 等比求和：
   $\begin{aligned} S_n&=a(1+q+\cdots+q^{n-1})\\ &=\frac{a(1+q+\cdots+q^{n-1})(1-q)}{1-q}\\ &=\frac{a(1-q^n)}{(1-q)}\\ &=\begin{cases} \frac{a}{1-q},|q|<1\\ \infty,|q|>1 \end{cases} \end{aligned}$

无限小数

$0.aaaaa\cdots=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{a}{10^k}=\frac{1}{10}\sum_{k=1}^\infty(\frac{1}{10})^{n-1}=\frac{1}{10}\frac{a}{1-\frac{1}{10}}=\frac{a}{9}$
从而我们可以证明 $0.\dot{3}=\frac{1}{3},0.\dot{9}=1$

数项级数收敛的必要条件

$\lim\limits_{k\to\infty}a_k=0$
证明：级数的部分和确定了通项
$a_n=\sum\limits_{k=1}^na_k-\sum\limits_{k=1}^{n-1}a_k=S_n-S_{n-1}$
所以收敛意味着 $\lim\limits_{n\to\infty}=S\in\R$
$\lim\limits_{n\to\infty}a_k=S-S=0$

但不是充分条件，如调和级数。

数项级数收敛的充要条件

其正确性和Cauchy收敛原理是紧密关联的。
$\forall\varepsilon>0,\exists N,\ s.t.$当 $n\geq N,\forall p\geq 1$时有
$\Bigg|\sum_{k=n+1}^{n+p}-0\Big|<\varepsilon$

例：

• （调和级数） $\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k}$, $\forall N,\exists n=p=N$有 $\left(\sum\limits_{k=n+1}^{n+p}\frac{1}{k}\right)\geq \frac{1}{2}$
  发散

调和级数也可以使用积分放缩来求解：
$\frac{1}{n+1}=\int_{n}^{n+1}\frac{1}{n+1}\,\mathrm dx<\int_{n}^{n+1}\frac{1}{x}\,\mathrm dx<\int_{n}^{n+1}\frac{1}{n}\,\mathrm dx=\frac{1}{n}$

• （二级数） $\sum\limits_{k=n+1}^{n+p}\frac{1}{k^2}$利用裂项放缩，原级数 $<\frac{1}{n}-\frac{1}{n+p}$

注：p（ $p\geq 2$）级数都收敛，它们的性质都优于调和级数

收敛级数的性质

我们更多地发现，部分和不一定可以简单地写成显式的，初等的表达式，部分和之差也不一定可以很容易放缩成可以利用Cauchy收敛原理求证的，所以我们还需要讨论级数的性质。

线性性质

两条：收敛级数的数乘；收敛级数的加和

性质二的补充：

1. 收敛 $\pm$发散必然发散
2. 发散 $\pm$发散敛散性不定

对有限项的敛散保持性

利用Cauchy收敛原理，对两个级数 $\sum\limits_{k=1}^\infty a_k$与 $\sum\limits_{k=1}^\infty b_k$，若 $\exists N\ s.t.\,k\geq N,a_k=b_k$，那么它们的柯西条件真值相同。
从而，在级数前添加有限项或者删除有限项，所成的新级数与原级数敛散性不变。

级数的结合律（重要）

收敛级数任意加括号，级数仍然收敛。

设 $\sum\limits_{k=1}^\infty a_n$收敛，那么其对应的加括号后中的各个部分 $b_n$序列都是原级数的部分和序列的子序列。从而当原级数收敛于S时， $S_n\to S$

注：

1. 反过来不正确，这是子序列收敛不能反推原列收敛的结果。
2. 加括号后数列发散，则原列发散。这本来是利用子序列判别不收敛的方法。
3. 结合更有利于级数收敛。

正项级数的审敛法

不同的数项具有不同的审敛方法，所以我们将数项级数分成同号级数和交错级数两种。
其中前一种较为典型的例子是正项级数，方法也相对多样，我们在这里专门讨论。

比较审敛法

定理1：部分和序列有上界（单调有界定理）

$S_n=\sum\limits_{k=1}^\infty u_k$和 $T_n=\sum\limits_{k=1}^\infty$满足 $u_n\leq cv_n,n\in\N*$
则：

1. 若 $S_n$收敛，则 $T_n$也收敛
2. 若 $T_n$发散，则 $S_n$也发散

简证：

1. $T_n$有上界那么 $S_n$也有上界。
2. 反证，如果 $T_n$收敛，那么由1，则 $S_N$收敛，矛盾。

比较审敛法给了我们一种讨论 $p$级数的方法。

再论 $p$级数

1. $p\leq 1$，利用调和级数发散，可以得到发散
2. $p>1$，利用结合律，第 $k$个括号，括住 $2^k$项。第 $k$个括号中 $v_n\leq\frac{2^n}{2^{np}}=\frac{1}{2^{n(p-1)}}$
   注意到： $\sum\limits_{n=0}^\infty\omega_n=\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{2^{p-1}}\right)^{n-1}$是公比为 $\frac{1}{2^{p-1}}$的等比级数，由等比级数收敛性知这个级数收敛。从而 $v_n$的级数也收敛。
   再利用结合律知 $k\ s.t.k\leq 2^{n+1}-1$有 $\{S_k\}$有上界，从而知原级数收敛

$p$级数与广义积分有紧密的联系。 $p>1$时，
$\begin{aligned} S_n&=\frac{1}{1^p}+\frac{1}{2^p}+\cdots+\frac{1}{n^p}\\ &\leq 1+\int_{1}^2\frac{1}{x^p}\,\mathrm dx+\cdots+\int_{n-1}^n\frac{1}{x^p}\,\mathrm dx\\ &=1+\int_1^n\frac{1}{x^p}\,\mathrm dx <1+\int_1^n+\int_n^{+\infty}\\ &=1+\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}\,\mathrm dx=1+A\xlongequal{\triangle}M \end{aligned}$
从而知 $\{S_n\}$收敛

关于无穷级数和广义积分的关系，我们后面还要专门讨论

比较审敛法的渐进分析形式（ $\ast$）

同阶级数同敛散.

证明可以双向构造比较审敛的不等式:
即利用
$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=l(0<l<+\infty)$
构造 $u_n<(l+1)v_n, v_n<(\frac{1}{l}+1)u_n$

这个证明方法是重要的，它架设了极限和级数之间的关系，体现了用有限解决无限的思想。在后面证明达朗贝尔审敛和柯西审敛的过程当中，都很有益。

这意味着我们可以使用等价代换。这将极大增加我们判别的效率，正如极限计算中我们已经看到的那样

高阶级数更趋向于发散。

它启发了达朗贝尔

比较审敛法的求解思路

放缩为我们熟悉的 $p$级数（其中调和级数常用）和等比级数。

比较审敛的问题

我们必须使用放缩法，把原级数转化为另一个级数的敛散性判别问题。

于是思考，能否有一种方法，可以只利用待判别的级数本身便给出结果？

比值审敛法

这个方法也叫达朗贝尔审敛法。

从等比级数的思想入手，如果前后项的比有某种关系，我们或许可以对这个比的序列进行敛散性分析，导出原级数的敛散性。纵然有另外的数列，但把求解过程完全限制在同一个数列当中了。这个观点很高。

定理叙述

若正项级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(n>0)$满足
$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=l$
则：

1. 当 $l<1$时级数收敛；
2. 当 $l>1$时级数发散；
3. 当 $l=1$时不定。

简证：

1. 由极限保序性，取公比 $q>l$，可以利用原数列构造一个参考的等比数列 $u_{n+k}<u_n\cdot q^k$，不等号右侧收敛。故由比较法得证。
2. 数列单调上升且速度越来越稳定。
3. 我们可以举例说明这个不定性：任意 $p$级数都满足，但事实也很明确。

根值审敛法

这个方法也叫柯西审敛法。

定理叙述

若正项级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(n>0)$满足
$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=l.$
则：

1. 当 $l<1$时级数收敛；
2. 当 $l>1$时级数发散；
3. 当 $l=1$时不定。

简证：

1. 利用 $q^n$的等比级数性质
2. 结合数项级数收敛的必要条件。 $u_n$并不趋向于0
3. 仍然是任意 $p$级数都满足这个条件。

正项级数的审敛法对比

比值法和根值法（我们姑且把它们称为延伸类方法）的可解情形利用了比较审敛法，而其还存在不可解情形，所以比较法的可解问题的集合更广。

一般的选取原则：

1. 若级数中出现 $a^n, n!, n^n$，考虑使用延伸类方法。最优先使用柯西法，含有 $n!$才用达朗贝尔法。
2. 若没有这三者，使用比较法。

无穷级数和无穷积分的关联

设 $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$为正项级数，若存在一个单调下降的非负函数（ $x\geq 1$）使得
$u_n=f(n), n\in \mathbb{N}$
则级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$和无穷积分同敛散。

简证： $\sigma_n = \int_1^n f(x)\,\mathrm dx$，由几何关系
$S_n-u_1\leq \sigma_n\leq S_n-u_n$
利用这个关系我们可以构造出双向的比较审敛的不等式：
$\begin{cases} S_n\geq \sigma_n\\ S_n\leq \sigma_n+u_1 \end{cases}$
如果原问题可以通过 $n$到 $x$的代换转化成易解的积分，我们就使用这种形式。

交错级数和绝对收敛

交错级数的莱布尼茨准则

$\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n$
若 $\{u_n\}$单调减， $\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0$，则收敛。

注：

1. 这只是一个充分条件，非必要条件

e.g.收敛但 $u_n$不递减。
$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n+(-1)^n}}$

2. 对莱布尼茨准则的理解：交替项表征振动幅度，最终必须要趋向0，否则将无法收敛。
3. 交错级数的余项估计： $|r_n|\leq u_{n+1}$

任意项级数

建立在对交错级数的研究上，我们可以将任意项级数拆解成交错项和正项级数两部分，分别研究再合并。

同时还有一个比较好用的思路，即绝对收敛。在后面我们还会专门讨论任意项级数

绝对收敛： $\sum\limits_{n=1}^\infty|u_n|$收敛，可推 $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$收敛，则称级数绝对收敛。
条件收敛： $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$收敛，但 $\sum\limits_{n=1}^\infty|u_n|$发散，此时称级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$条件收敛。

条件收敛的级数时常是交错级数。

小结：
为了研究级数，我们通过极限的工具进行收敛性研究。为了更好的研究收敛性，我们讨论了收敛级数的性质。为了更好地求解极限的两大问题，我们对不同性质的级数进行分类，这里已经讨论了正项级数的几种方法。接下来我们要思考关于幂级数的审敛法和求解方法。

任意项级数

交错级数举例

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}\cdots$
利用级数的结合律，这个级数可以化成典型的交错级数。
$v_k=\frac{1}{3k-2}+\frac{1}{3k-1}+\frac{1}{3k}$
从而 $\sum\limits_{k=1}^\infty(-1)^{k-1}v_k$是交错级数.
利用Leibniz法则， $\{S_{3n}\}$作为 $\{S_{n}\}$的子列，有极限 $S$

接着可以得到
$S_{3n+1}=S_{3n}+u_{3n+1}=S_{3n}+(-1)^n\frac{1}{3n+1}\to S(n\to\infty)$
$S_{3n+2}=S_{3n}+u_{3n+1}+u_{3n+2}$

绝对收敛与条件收敛

绝对收敛是一种较强的级数。

因为取完绝对值之后通常会趋向为正项发散，这和极限中取绝对值趋同在形式上是相反的。

绝对收敛和条件收敛可以归结为一句话：
绝对值级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty|u_n|$收敛是原级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$收敛的充分非必要条件。

重排不变性

引理1（拆分引理）：绝对收敛的任意项级数的和数可分解为两个正项级数

条件有待讨论：正负项分别收敛有可能出现原级数不收敛的情况

证明思路：设级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$绝对收敛，令
$v_n=\frac{1}{2}(|u_n|+u_n)$

$w_n=\frac{1}{2}(|u_n|-u_n)$
从而实现正负项的分离。两个正项级数都绝对收敛，设分别至 $P$和 $Q$。又 $u_n=v_n-w_n$从而利用级数的线性性质可得原级数收敛至 $P-Q$。

引理2：正项收敛级数的重排不变性

证明思路：不管换了多少个，都是有限个。从原级数中取出足够多的 $m$项，使得组成的数集能够包含这些交换过的元素 $S_n^*\leq S_m\leq S$
利用比较法， $S_m$收敛，所以 $S_n^*$收敛。

在上述过程中，换一个角度看， $S$对应序列是 $S^*$对应序列交换次序所得，也有： $S_m\leq S_n^*$，取极限可得 $S\leq S^*$

综合可得证。

定理：绝对收敛的级数重排后新级数也绝对收敛，且和不变。
综合引理，易证。

任意项级数的两个审敛定理

预备知识

绝对收敛的级数的可乘性

两个级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty u_k$与 $\sum\limits_{n=1}^\infty v_k$绝对收敛，则由它们的项相乘所组成的乘积 $u_iv_i$按任意次序相加所成的级数绝对收敛到两级数的和数之积。

这类的定理一直需要绝对收敛。我的解释是，条件收敛不够紧实，在交换的情况下，会出现和数的偏移。

Abel变换

设有两组数， $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\cdots,\alpha_m$与 $\beta_1,\beta_2,\beta_3\cdots,\beta_m$，令 $\{B_n\}$是 $\{\beta_n\}$的部分和序列

则有Abel变换式：
$\sum\limits_{k=1}^m\alpha_k\beta_k=\sum\limits_{k=1}^{m-1}(\alpha_k-\alpha_{k+1})B_k+\alpha_m\beta_m$

Abel引理

在Abel变换式中， $\{\alpha\}$是单调的， $\{\beta\}$的部分和序列 $B_n$有界，则有：
$\left|\sum\limits_{k=1}^m\alpha_k\beta_k\right|\leq M\sum\limits_{k=1}^{m-1}|\alpha_k-\alpha_{k+1}|+M\cdot|\alpha_m|\leq M(|\alpha_1|+2|\alpha_m|)$

Dirichlet审敛法

对级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty a_kb_k$：
若序列 $\{a_k\}$单调且收敛至0，又级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty b_k$的部分和有界，则级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty a_kb_k$收敛。

利用阻尼振动的图像， $a_k$列就是阻尼作用的包络线， $b_k$列是中部的振动主部。

Abel任意项级数审敛法

对级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty a_kb_k$：
若无穷数列 $\{a_k\}$单调收敛，而级数 $\sum\limits_{k=1}^\infty b_k$收敛，则级数 $\sum\limits_{k=1}^\infty a_kb_k$收敛。

这个方法建立在两点上：

1. 第一， $a_k$的收敛条件，通过减极限，可以转化并满足D法中的趋于0；

2. 第二，多了 $b_k$级数收敛的限制，从而才可以使用级数的可加和的线性性质。