洛谷P1066 2^k进制数题解--zhengjun

题目描述

设 $r$ 是个 $2^k$ 进制数，并满足以下条件：

• $r$ 至少是个 $2$ 位的 $2^k$ 进制数。
• 作为 $2^k$ 进制数，除最后一位外， $r$ 的每一位严格小于它右边相邻的那一位。
• 将 $r$ 转换为二进制数 $q$ 后，则 $q$ 的总位数不超过 $w$。

在这里，正整数 $k,w$ 是事先给定的。

问：满足上述条件的不同的 $r$ 共有多少个？

我们再从另一角度作些解释：设 $S$ 是长度为 $w$ 的 $01$ 字符串（即字符串 $S$ 由 $w$ 个 $0$ 或 $1$ 组成）， $S$ 对应于上述条件三中的 $q$。将 $S$ 从右起划分为若干个长度为 $k$ 的段，每段对应一位 $2^k$ 进制的数，如果 $S$ 至少可分成 $2$ 段，则 $S$ 所对应的二进制数又可以转换为上述的 $2^k$ 进制数 $r$。

例：设 $k=3,w=7$。则 $r$ 是个八进制数（ $2^3=8$）。由于 $w=7$，长度为 $7$ 的 $01$ 字符串按 $3$ 位一段分，可分为 $3$ 段（即 $1,3,3$，左边第一段只有一个二进制位），则满足条件的八进制数有：

$2$ 位数：
高位为 $1$： $6$ 个（即 $12,13,14,15,16,17$）,
高位为 $2$： $5$ 个，
$\cdots$，
高位为 $6$： $1$ 个（即 $67$ ）。
共 $6+5+…+1=21$ 个。

$3$ 位数：
高位只能是 $1$，
第 $2$ 位为 $2$： $5$ 个（即 $123,124,125,126,127$），
第 $2$ 位为 $3$： $4$ 个，
$\cdots$，
第 $2$ 位为 $6$： $1$ 个（即 $167$）。
共 $5+4+…+1=15$ 个。

所以，满足要求的 $r$ 共有 $36$ 个。

输入格式

一行两个正整数 $k,w$ 用一个空格隔开：

输出格式

一行一个个正整数，为所求的计算结果。
即满足条件的不同的 $r$ 的个数（用十进制数表示），要求不得有前导零，各数字之间不得插入数字以外的其他字符（例如空格、换行符、逗号等）。

（提示：作为结果的正整数可能很大，但不会超过 $200$ 位）

输入输出样例

输入 #1 复制

3 7

输出 #1 复制

36

说明/提示

【数据范围】
$1\le k \le 9$

$1\le w \le 3\times 10^4$

$NOIP\ 2006$ 提高组 第四题

思路

首先，可以看出来这是一道组合数学的题目。

那么，我们一起来推一推式子。

以样例为例：

3 7

因为这一个 $2^3$的数转换成谔进制是不能超过 $7$位的，而 $2^3=8=1000_{(2)}$

所以，这样的一位就要可以分成二进制的 $k$位。

例如 $2^4$进制的 $1032$。

一位一位转化

$1_{(16)}=0001_{(2)}$

$0_{(16)}=0000_{(2)}$

$3_{(16)}=0011_{(2)}$

$2_{(16)}=0010_{(2)}$

其实这里的一位一位的就是相当于 $10$进制下的，因为每一位都不超过 $2^k$。

所以最后的结果就是这几个谔进制的数写在一起： $0001,0000,0011,0010($加了个间隔看得清楚 $)$。

然后，再回到样例，一个 $2^3$进制的数转换成谔进制最多只能有 $7$位。

我们刚才知道了， $2^k$的数每一位就可以转换成 $k$位的谔进制，那么 $7$位，就可以有 $2$位，然后剩下 $1$，也就是说这个 $2^k$进制的最高位转换成谔进制最多只能是 $1$，所以这个 $2^k$进制的数最多只能有 $3$位，最高位不能超过 $1$。

那如果样例是：

3 8

首先，两位是肯定可以有的，然后余下 $2$位的谔进制，那这个 $2$位谔进制最多就是 $11_{(2)}$，也就是 $3$。

这样，如果 $w\bmod k$余下的是 $x$，那么最高位就不能超过 $2^x-1$

这样就总结出了：这个 $2^k$进制的数最多只能有 $\lceil w\div k\rceil$，这是一个向上取整的符号，第 $\lfloor w\div k\rfloor+1$位不能超过 $2^{w\bmod k}-1$。

然后就是一个十分简单的组合数。

让我们模拟一遍(还是样例)：

1. 求出位数 $\lceil w\div k\rceil=3$，第 $\lfloor w\div k+1\rfloor=3$不能超过 $2^{w\bmod k}-1=1$。
2. 枚举位数：两位，从 $0$到 $2^k-1$中选 $2$个，一共有 $C_{2^k-1}^{2}$
3. 继续枚举位数 $\cdots$直到 $\lfloor w\div k\rfloor$
4. 枚举最高位的数：1，后面的数可选 $2$到 $2^k-1$，一共有 $C_{2^k-2}^{2}$
5. 继续枚举最高位的数 $\cdots$直到 $2^{w\bmod k}-1=1$
6. 输出答案

好了，就是这么一个过程，题目中也很清楚，要高精度，高精度的模板可以从高精度模板–zhengjun拿(我就是用这个模板过的)

最后说一句，高精度的除法比较慢，我一开始算 $C_n^m$时用了这个公式： $\cfrac{n!}{m!(n-m)!}$，结果就 $T$掉了。

反正要算 $C_n^m$， $n,m$又不大，直接预处理出来放在数组里面用就可以了，用递推公式(不难理解)： $C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m$。需要我说吗？

我还是唠一下吧。就是看这第 $n$个数要不要选，如果选了，剩下的可能就是 $C_{n-1}{m-1}$，如果不选，就是 $C_{n-1}^m$。

注意一下初始值：

所有的 $C_n^0$都是 $1$，一个也不选就是一种情况。

好了，我太多嘴了

我的代码为了简洁，高精度模板自己去高精度模板–zhengjun拿(顺便点个赞)，这里就省略掉了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
/*
高精度模板
*/
int k,w;
bign c[512][512];
bign ans;
int main(){
	scanf("%d%d",&k,&w);
	int t=(1<<k)-1,a=(1<<(w%k))-1;//谔进制就用位运算了
	for(int i=0;i<=t;i++){
		c[i][0]=1;//初始化
		for(int j=1;j<=i;j++)
		    c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
	}
	for(int i=2;i<=w/k&&i<=t;i++)ans+=c[t][i];//注意一下边界2:i<=t
	for(int i=1;i<=a&&t-i>=w/k;i++)ans+=c[t-i][w/k];//同样注意边界
	cout<<ans;//我的模板支持输入输出流
	return 0;
}

谢谢–zhengjun