洛谷P1011车站题解--zhengjun

题目描述

火车从始发站（称为第 $1$站）开出，在始发站上车的人数为 $a$，然后到达第 $2$站，在第 $2$站有人上、下车，但上、下车的人数相同，因此在第 $2$站开出时（即在到达第 $3$站之前）车上的人数保持为 $a$人。从第 $3$站起（包括第 $3$站）上、下车的人数有一定规律：上车的人数都是前两站上车人数之和，而下车人数等于上一站上车人数，一直到终点站的前一站（第 $n-1$站），都满足此规律。现给出的条件是：共有 $N$个车站，始发站上车的人数为 $a$，最后一站下车的人数是 $m$（全部下车）。试问 $x$站开出时车上的人数是多少？

输入格式

$a$(≤20)， $n$(≤20)， $m$(≤2000)，和 $x$(≤20)，

输出格式

从 $x$站开出时车上的人数。

输入输出样例

输入 #1 复制

5 7 32 4

输出 #1 复制

13

思路

直接先列个表来找找规律。

数据	1	2	3	4	5	6	7
上车人数	a	b	a+b	a+2b	2a+3b	3a+5b	5a+8b
下车人数	0	b	b	a+b	a+2b	2a+3b	3a+5b
开始时车内人数	a	a	2a	2a+b	3a+2b	4a+4b	6a+7b

这样可能还是找不到规律。我们把a,b换掉，用它们的系数表示。

数据	1	2	3	4	5	6	7
上车人数	1	1	1+1	1+2	2+3	3+5	5+8
下车人数	0	1	1	1+1	1+2	2+3	3+5
开始时车内人数	1	1	2	2+1	3+2	4+4	6+7

这还不够明显吗。

数据	1	2	3	4	5	6	7
上车人数	1	1	2	3	5	8	13
下车人数	0	1	1	2	3	5	8
开始时车内人数	1	1	2	3	5	8	13

斐波那契数列！！

那么，我们用 $f$数组来计算斐波那契数列。

$f[1]=1;f[2]=1;f[3]=2;f[4]=3;f[5]=5;f[6]=8...$

看表可知：

1. 第 $i$ 站的上车人数 $=f[i-2]\times a+f[i-1]\times b$ （ $i\ge 2$ )
2. 第 $i$ 站的下车人数 $=f[i-3]\times a+f[i-2]\times b$ （ $i\ge 3$ )
3. 第 $i$ 站的开始时车内人数

$=$ $\sum_{k=1}^{i}$(第 $k$站上车人数 $-$第 $k$站下车人数)（可以抵消）

$=$第 $i$站上车人数 $+a-b$

$=f[i-2]\times a+f[i-1]\times b+a-b$

$=(f[i-2]+1)\times a+(f[i-1]-1)\times b$（ $i\geq 2$ )

所以，我们只要一步一步推下来，推到 $n$，再根据 $m$和 $a$算出 $b$，再求出第 $x$站开始时的人数就可以了。
注意：题中的 $m$应该是第 $n$站开始时的人数

以下是样例：

数据	1	2	3	4	5	6	7
上车人数	5	b	5+b	5+2b	10+3b	15+5b	0
下车人数	0	b	b	5+b	5+2b	10+3b	32
开始时车内人数	5	5	10	10+b	15+2b	20+4b	32

也就是 第六站开始时的人数 $=m$

即 $(f[i-2]+1)\times a+(f[i-1]-1)\times b=m$

所以 $b=\frac {m-(f[i-2]+1)\times a } { f[i-1]-1 }=\frac {32-(3+1)\times 5}{5-1}=3$ 。

那么 第 $4$站开始时的人数

$=$第 $i$站上车人数 $+a-b$

$=(f[i-2]+1)\times a+(f[i-1]-1)\times b$

$=(f[2]+1)\times a+(f[3]-1)\times b$

$=(1+1)\times 5+(2-1)\times 3$

$=13$

不就了事了吗

我感觉讲的够详细了。

最后，特判一下 $x=1$ 时的情况，直接输出 $a$ 。

代码

#include<bits/stdc++.h>
int f[25]={0,1,1};
int n,m,a,b,x;
int main(){    
	scanf("%d%d%d%d",&a,&n,&m,&x);
    for(int i=3;i<=n;i++)
	    f[i]=f[i-1]+f[i-2];
    b=(m-f[n-1-2]*a-a)/(f[n-1-1]-1);//是第(n-1)个点的开始为m，套用公式
    if(x==1)//特判
	    printf("%d",a);
    else
	    printf("%d",(f[x-2]+1)*a+(f[x-1]-1)*b);//套公式
    return 0;
}

谢谢–zhengjun