洛谷P1018乘积最大题解--zhengjun

题目描述

今年是国际数学联盟确定的“ $2000$――世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰 $90$周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友 $XZ$也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：

设有一个长度为 $N$的数字串，要求选手使用 $K$个乘号将它分成 $K+1$个部分，找出一种分法，使得这 $K+1$个部分的乘积能够为最大。

同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：

有一个数字串： $312$， 当 $N=3,K=1$时会有以下两种分法：

1. $3 \times 12=36$
2. $31 \times 2=62$

这时，符合题目要求的结果是: $31 \times 2 = 62$

现在，请你帮助你的好朋友 $XZ$设计一个程序，求得正确的答案。

输入格式

程序的输入共有两行：

第一行共有 $2$个自然数 $N,K$（ $6\le N\le 40,1\le K\le 6$）

第二行是一个长度为 $N$的数字串。

输出格式

结果显示在屏幕上，相对于输入，应输出所求得的最大乘积（一个自然数）。

输入输出样例

输入 #1

4  2
1231

输出 #1

62

说明/提示

$NOIP\ 2000$ 提高组第二题

思路

首先，这是一道动态规划题应该很容易就判断出来。
属于区间 $dp$ 。
$f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个数字中插入 $j$ 个 $\times$ 号的最大乘积。
初始值：
显然： $j=0$ 时， $f_{i,j}=S_1\cdot\cdot\cdot S_j;i\le j$ 时， $f_{i,j}=0;$
对于其他情况，就枚举最后一个 $\times$号的位置和用了几个 $\times$ 号，转移方程就是 $f_{i,j}=max\{f_{k,j-1}\times S_1\cdot\cdot\cdot S_j\}$

最后，本题还要高精度，你们不想打就直接拿我的模板吧。

上代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
/*************************以下为模板***************************/
#define maxn 10005
struct bignum {
	int len,s[maxn];
	char flag;
	bignum() {
		len=1;
		flag='+';
		memset(s,0,sizeof(s));
	}
	bignum (int num) {
		*this=num;
	}
	bignum (const char *num) {
		*this=num;
	}
	bignum operator = (const char *a) {
		len=strlen(a);
		for (int i=1; i<=len; ++i)
			s[i]=a[len-i]-'0';
		return *this;
	}
	bignum operator = (const int num) {
		char a[maxn];
		sprintf(a,"%d",num);
		*this=a;
		return *this;
	}
	bignum operator + (const bignum &a) {
		bignum c;
		c.len=max(len,a.len)+1;
		for (int i=1; i<c.len; ++i) {
			c.s[i]+=(s[i]+a.s[i]);
			c.s[i+1]+=c.s[i]/10;
			c.s[i]%=10;
		}
		if (c.s[c.len]==0)
			c.len--;
		return c;
	}
	bignum operator += (const bignum &a) {
		*this=*this+a;
		return *this;
	}
	bignum operator * (const bignum &a) {
		bignum c;
		c.len+=(len+a.len);
		for (int i=1; i<=len; ++i)
			for (int j=1; j<=a.len; ++j) {
				c.s[i+j-1]+=(s[i]*a.s[j]);
				c.s[i+j]+=(c.s[i+j-1]/10);
				c.s[i+j-1]%=10;
			}
		while (c.s[c.len]==0)
			c.len--;
		return c;
	}
	bignum operator *= (const bignum &a) {
		*this=(*this) * a;
		return *this;
	}
	bool operator < (const bignum &a) const {
		if (len!=a.len)
			return len<a.len;
		for (int i=len; i>=1; --i)
			if (s[i]!=a.s[i])
				return s[i]<a.s[i];
		return false;
	}
	bool operator > (const bignum &a) const {
		return a<*this;
	}
	bool operator <= (const bignum &a) const {
		return !(*this>a);
	}
	bool operator >= (const bignum &a) const {
		return !(*this<a);
	}
	bool operator == (const bignum &a) const {
		return !((*this<a) || (*this>a));
	}
	bool operator != (const bignum &a) const {
		return !(*this==a);
	}
	void change (bignum &a,bignum &b) {
		bignum tmp=a;
		a=b;
		b=tmp;
	}
	bignum operator - (const bignum &a) const {
		bignum b=*this,c;
		if (b<a) {
			c.flag='-';
			c.len=a.len;
			for (int i=1; i<=c.len; ++i) {
				c.s[i]+=(a.s[i]-b.s[i]);
				if (c.s[i]<0) {
					c.s[i]+=10;
					c.s[i+1]-=1;
				}
			}
			while (c.len==0)
				c.len--;
			return c;
		}
		c.len=b.len;
		for (int i=1; i<=c.len; ++i) {
			c.s[i]+=(b.s[i]-a.s[i]);
			if (c.s[i]<0) {
				c.s[i]+=10;
				c.s[i+1]-=1;
			}
		}
		while (c.len==0)
			c.len--;
		return c;
	}
	bignum operator -= (const bignum &a) {
		*this=(*this)-a;
		return *this;
	}
	bignum operator / (const int n) {
		bignum c,b=*this;
		c.len=b.len;
		int x=0;
		for (int i=1; i<=n; ++i) {
			c.s[i]=(x*10+b.s[i])/n;
			x=(x*10+b.s[i])%n;
		}
		while (c.s[c.len]==0)
			c.len--;
		return c;
	}
	bignum operator /= (const int a) {
		*this=*this/a;
		return *this;
	}
};
ostream& operator << (ostream &out,const bignum &x) {
	for (int i=x.len; i>=1; --i)
		printf("%d",x.s[i]);
	return out;
}
bignum bigmax(const bignum &a,const bignum &b){
	return a>b?a:b;
}
/*************************以上为模板***************************/
int n,k;
char s[50];
bignum f[50][10],a[50][50];
int main() {
	scanf("%d%d",&n,&k);
	scanf("%s",s+1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	    for(int j=i;j<=n;j++)
	        a[i][j]=a[i][j-1]*10+(s[j]-'0');
	for(int i=1;i<=n;i++){
		f[i][0]=a[1][i];
		for(int j=1;j<=k;j++)
		    for(int l=j;l<i;l++)
		        f[i][j]=bigmax(f[i][j],f[l][j-1]*a[l+1][i]);
	}
	cout<<f[n][k];
	return 0;
}

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