洛谷P3374树状数组题解--zhengjun

数据结构之树状数组—zhengjun

P3374题目（树状数组1）

题目描述：

已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

将某一个数加上 x

求出某区间每一个数的和

输入格式

第一行包含两个正整数 n,mn,m，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含 nn 个用空格分隔的整数，其中第 ii 个数字表示数列第 ii 项的初始值。

接下来 mm 行每行包含 33 个整数，表示一个操作，具体如下：

1 x k 含义：将第 x 个数加上 k

2 x y 含义：输出区间 [x,y] 的和

输出格式

输出包含若干行整数，即为所有操作 2 的结果。

输入输出样例

输入

5 5
1 5 4 2 3
1 1 3
2 2 5
1 3 -1
1 4 2
2 1 4

输出

14
16

树状数组的功能

树状数组，是一个查询修改的复杂度都为log(n)的数据结构。

	你或许还不理解，这玩意为什么长这样？那么，就用计算机的语言来解释吧（二进制）！

理解

重点来了

第一层：

      （0001）1的父亲是（0010）2；
      （0011）3的父亲是（0100）4；
      （0101）5的父亲是（0110）6；
      （0111）7的父亲是（1000）8；
       ————都以1结尾，并且都加上了1！！！

第二层：

      （0010）2的父亲是（0010）4；
      （0110）6的父亲是（1000）8；
       ————都以10结尾，并且都加上了10！！！

第三层：

      （0100）4的父亲是（1000）8；
       ————都以100结尾，并且都加上了100！！！

你一定找到规律了！

	在第几层，它的父亲就是加上1<<(层数-1);
	或者是，加上它最低位的一个1！
	那么，是不是又增加了复杂度呢？
	其实不是，只要一个简短的函数：
    #define lowbit(x) ((x)&(-x))

----------------没错！这就是树状数组的核心。

但是，区间求和时又该怎么办呢？

比如：要求1-7的和，就要分别加上 c[7] , c[6] , c[4] ;
我们研究一下这些数的二进制：

      0111--7
           减去1
      0110--6
           减去10
      0100--4
      	   减去100

每次减去的不正是当前编号的 $lowbit$吗？

那么 $4$再减，就变成了 $0$，只要一个 $while$不就解决了吗？

问题

如果是 $4-7$怎么办呢？

其实很简单：用 $1-7$减去 $1-3$不就可以了吗？

代码实现

用数组 $c$来储存这棵树。

加值：

只需从它本身开始加，连续加上 $lowbit$
来求它的父亲，并把它的父亲也加上这个值不就行了吗？

区间求和：

若要 $x-y$的和；

分别用这两个数（ $x$和 $y-1$）做一遍：

  用sum存储和，
  将sum加上当前的c[i]；
  再减去lowbit(i)
  重复执行不就行了吗？（判断是否已减到0）

代码（未压行）

#include<cstdio>
#define maxn 500001
#define lowbit(x) ((x)&(-x))
#define read(n) scanf("%d",&n)//传说中的最牛的快读
int n,m;
int a[maxn],c[maxn];
void update(int rt,int x)
{
	while(rt<=n)
	{
		c[rt]+=x;
		rt+=lowbit(rt);
	}
	return;
}
int query(int rt)
{
	int sum=0;
	while(rt)
	{
		sum+=c[rt];
		rt-=lowbit(rt);
	}
	return sum;
}
int main()
{
	read(n),read(m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
                read(a[i]),update(i,a[i]);//建树时只是将原来的0加上a[i]。
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int x,y,z;
		read(x),read(y),read(z);
		if(x==1)//修改
		{
			update(y,z);
		}
		else//查询
		{
			printf("%d\n",query(z)-query(y-1));
		}
	}
	return 0;
}

简单易懂，多好。

Thank you!

--------郑钧