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贝叶斯估计
贝叶斯估计将 后验概率 (考虑相关证据或数据后,某一事件的条件机率)推导为二个前、先验概率(考虑相关证据或数据前,某一事件不确定性的机率)及 似然函数 (由 概率模型 推导而得)的结果。贝叶斯推断根据贝叶斯定理计算后验概率:
其中,
1)
表示将某事件成立作为条件(因此
表示假定B成立的A)
2)
表示假说,其机率可能会受实验数据(以下会称为证据)影响。一般来说会有许多互相矛盾的
假说,任务是要确认哪一个假说可能性最高。
3)
表示证据。证据对应新的数据,也就是还没用来计算先验概率的数据。
7)
有时会称为边缘似然率。此系数对所有可能的假说都是定值,因此在判断不同假说的相对机率时,不会用到这个系数中。
针对不同的
数值,只有
和
(都在分子)会影响
的数值。假说的后验概率和其先验概率(固有似然率)和新产生的似然率(假说和新得到证据的相容性)乘积成正比。
贝叶斯定理也可以写成下式:
而且贝叶斯估计可以迭代使用:在观察一些证据后得到的后设机率可以当作新的先验机率,再根据新的证据得到新的后设机率。因此贝斯定理可以应用在许多不同的证据上,不论这些证据是一起出现或是不同时出现都可以,这个程序称为贝叶斯更新(Bayesian updating)。
定义
编辑1.参数
1)
是数据点,可能是一个有许多数值形成的
向量。
4)
,由观测到的
个数据点组成的一组数据,
5)
,需预测分布的新数据点。
2.定义描述
1)
先验分布是在观测资料前的参数分布
;
2)先验分布可能不容易确认,此时可以用杰佛里斯事前分配在更新较新的观测值时,先获得后验分布;
4)
边缘似然率(有时也称为证据)是观测资料在参数上的边缘分布
;