级数_1：级数的基本概念和基本性质

级数基本概念

设u₁，u₂ $\cdots$u_n $\cdots$是一个数列，则 $\sum_{n=1}^\infty$u_n称为级数。u_n为级数的通项（一般项）S_n = $\sum_{n=1}^n$u_k 为级数的前n项部分和。

若有 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}$S_n = S，则称级数收敛，S为级数的和，即 $\sum_{n=1}^\infty$u_n = S，反之，称级数发散。

若级数收敛，则r_n = $\sum_{k=n+1}^\infty$u_k = S - S_n 为级数余和，且 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}$r_n = 0。

* 级数基本性质

1. 若级数 $\sum_{n=1}^\infty$u_n收敛到S，级数 $\sum_{n=1}^\infty$v_n收敛到T，则级数 $\sum_{n=1}^\infty$(αu_n+βv_n) 收敛到 αS + βT（线性）。
2. 将级数增加、删减或改换有限项，不改变级数的收敛性。
3. 若级数收敛于S，则将相邻若干项相加作一项而组成的新级数仍然收敛与S（新级数为原级数的一个子列）。

* 收敛的必要条件

若级数 $\sum_{n=1}^\infty$u_n 收敛，则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}$u_n = 0（一般项是无穷小）。

逆否命题： $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}$u_n $\ne$ 0 或不存在 $\Rightarrow$ 级数发散。

注： $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}$u_n不一定能导出级数收敛（必要条件）。

* 解题方法

1. 首先求出部分和S_n，若部分和极限存在，则收敛，且收敛的和为该极限值。
2. 判断其一般项的极限是否趋于0，若极限不等于或不存在，则发散（反之不可行）。
3. 将级数某些项适当缩小（放大），求和分析。

例： $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$

解：

S_n = 1 + $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{4}$ + $\cdots$ + $\frac{1}{n}$

u_n = $\frac{1}{n}$ $\Rightarrow$ $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}$u_n = 0

故

S_2^k = 1 + $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{5}$ + $\cdots$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{9}$ + $\cdots$ + $\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{2^{k-1}}$ + $\frac{1}{2^{k-1}+1}$ + $\cdots$ + $\frac{1}{2^k}$ (S_2^k是S_n的一个子列)

将 $\frac{1}{3}$ 和 $\frac{1}{4}$ 组合， $\frac{1}{5}$ 到 $\frac{1}{8}$ 组合， $\frac{1}{9}$ 到 $\frac{1}{16}$ 组合 $\cdots$ $\frac{1}{2^{k-1}+1}$ 到 $\frac{1}{2^k}$ 组合。（性质3）

将 $\frac{1}{3}$ 缩小成 $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{5}$、 $\frac{1}{6}$、 $\frac{1}{7}$ 缩小成 $\frac{1}{8}$，以此类推。（方法3）

故

S_2^k $\gt$ 1 + $\frac{1}{2}$ + ( $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$) + ( $\frac{1}{8}$ + $\cdots$ + $\frac{1}{8}$) + ( $\frac{1}{16}$ + $\cdots$ + $\frac{1}{16}$) + $\cdots$ + ( $\frac{1}{2^{k}}$ + $\cdots$ + $\frac{1}{2^k}$) = 1 + $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ + $\cdots$ + $\frac{1}{2}$ = 1 + $\frac{k}{2}$ $\rightarrow$ + $\infty$

故

S_2^k $\rightarrow$ + $\infty$ $\Rightarrow$ $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}$S_n 不存在。（发散）

（本文章基于乐经良老师的网课）