有限域:基本性质和特征

有限域的定义

$有限域满足以下性质:\\ 有两种运算(+和\times),在该集合上封闭\\ 这两种运算满足交换和结合律\\ 有单位元e\\ 有逆元a^{-1}\\ 有乘法对加法的分配律a\times(b+c)=a\times b+a\times c\\$

当元素个数有限时称有限域.
常见的无限域有 $\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ .

子域和扩域

如果 $F$ 的子集 $F_0$ 对加法,乘法封闭(至少有0,e),并具有域的其他性质(除了封闭,基本上都是对运算规则的要求,所以也谈不上,只是需要注意),则称 $F_0$ 为子域.

几个比较典型的域的记法

$Q[\sqrt{2}]$
也就是 $\{a+\sqrt 2 b|a,b\in\mathbb{Q}\}$ ,加法和乘法是典型的加法和乘法.
$R[\sqrt{-2}]$
$\{a+\sqrt {-2}\ b|a,b\in\mathbb{R}\}$ ,成员实际上在虚数域上,等于 $\{a+2b\ i|a,b\in\mathbb{R}\}$ 同样加法和乘法是典型的加法和乘法.
$\mathbb{Z}_m$
$\{1,2,...,m-1\}$ ,m为质数
m必须为质数:否则不能成域:逆元有问题

域的性质

$\forall a\in\mathbb{F},0\times a=a\times 0=0$
$\forall a,b\in\mathbb{F},if\ ab=0,a=0\ or\ b=0$
上面两个应该很明显.
但是要注意基于域的定义, $a\times b$ 不一定等同于b个a相加.这一点要尤为注意.

映射和同构

映射就是一个域到另一个域的一一对应关系.类似于一元函数.

同构

$\mathbb{F},\mathbb{k}为两个域,\\if \exists Mapping \delta,\forall element\ a,b\in\mathbb{F},有\\ \delta(a+b)=\delta(a)+\delta(b)\\ \delta(a\times b)=\delta(a)\times \delta(b)\\ 称\delta (x)是\mathbb{F},\mathbb{k}上的同构映射,且\mathbb{F},\mathbb{k}同构.\\$
同构建立了两个域之间的联系,同构的域在某些性质上有相似的特征.

域的特征

定义

$if\ \exists a,使得\forall x\in\mathbb{F},有ax=0\\ 则称域\mathbb{F}的特征为a,记作char\{\mathbb{F}\}=a.\\ 如果不存在,则特征为0.$
注意:这里的 $ax=0$ 是指a个x相加,不是 $a\times x=0$ !!

性质

$一个域的特征不是0,就是素数.$
下面简单解释:
假设 $a=char\{\mathbb{F}\}$ 不是素数
则对于其性质 $am=0$ ,
对于分解因式 $a=i\times j$ ,
有 $(i\times j)m=0$ .
又对于零元0,有性质
$(i\times j)m=0\iff im=0$
所以 $\exists i\ or\ j \leq a,im=0,jm=0$
不成立.
所以特征不是0就是一个质数.

$(a\pm b)^{p^n}=a^{p^n}+b^{p^n},char\{\mathbb{F}\}=p.$
这是有限域内的二项式定理.
对此简单的做一点解释:
由二项式定理,除去首位两项外其他的项都有:
$C_{p^n}^i=\frac{(p^n)!}{i!\cdot (p^n-i)!}$
所以无论如何分子都会有一个 $p^n$ (除非i=0,就是首尾两项),则明显地
$p|C_{p^n}^i$ .
又中间项有a,b,由
$pa=0,pb=0$ ,
中间项消去.
注意,这里的中间项 $C_{p^n}^i a^ib^{p^n-i}$ ,是和特征定义相同的几个a相加,而不是域内定义的乘法.

下一篇将研究域上的多项式.