Part 13 (1) Fourier级数基本概念与应用

1. Fourier级数基本概念

1.1. 概念准备

1.1.1. 三角函数系的正交

$\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx\cos nx\,\mathrm dx= \begin{cases} 0, &m\not=n\\ \pi, &m=n\not=0\\ 2\pi, &m = n = 0, \end{cases}\ \ m, n = 0, 1, 2\cdots$
$\int_{-\pi}^\pi\sin nx\sin mx\,\mathrm dx=\begin{cases} 0, &m\not=n\\ \pi, &m = n\\ \end{cases} m, n = 1, 2, \cdots$
$\int_{-\pi}^\pi\sin nx\cos nx\,\mathrm dx=0,\ m=0,1, 2\cdots, n = 0, 1, 2\cdots$
利用和差化积即可。

注意推导中一个常用的想法是：几倍于 $2\pi$周期的三角函数，在 $\int_{-\pi}^\pi$上积分为0.

1.1.2. 一种特殊的函数项级数——三角级数

$\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^\infty\left(a_k\cos kx+b_k\sin kx\right)$

1.1.3. 分段分析性质

• 分段连续：闭区间上除去有限个第一类间断点外处处连续
• 分段单调：闭区间上只有有限个单调区间
• 分段可导：分段连续，且在这些间断点上左右广义导数存在

例 广义右导数：其中 $f(x_0+0)$为右极限
$\lim\limits_{\Delta x\to0+0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0+0)}{\Delta x}$

分段（一阶）光滑：分段连续，导数分段连续，分段可导，那么分段光滑

分段光滑函数的性质：

1. $f(x)$在 $[a,b]$上可积
2. $f'(x)$在 $[a,b]$上可积

1.2. Fourier系数

欲求 $a_k, b_k$，我们利用三角函数正交性的几个理论结果，我们对三角级数两侧分别乘 $\cos kx, \sin kx$得到
$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\,\mathrm dx, (n=0, 1, 2\cdots)\\ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\,\mathrm dx, (n=1, 2\cdots)$

1.3. 可以展成Fourier级数的条件

两种Dirichlet条件：

• 分段连续且分段单调
• 分段光滑

（逐点收敛定理）Dirichlet定理：满足Dirichlet条件的函数可以展成Fourier级数。
或者说其对应Fourier级数收敛到该点的广义左右极限的平均值 $\displaystyle\frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}$

此时，前 $n$项和函数为
$S_n(x)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x+t)\frac{\sin(\displaystyle n+\frac{1}{2})t}{2\sin\displaystyle\frac{1}{2}t}\,\mathrm dt$
这个积分称为Dirichlet积分。

1.4. Fourier级数的性质

（系数的趋势）设 $f(x)$在 $[-\pi, \pi]$上可积或绝对可积，则其Fourier系数满足：
$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0, \lim\limits_{n\to\infty}b_n=0$

（Fourier级数的逐项积分定理） $\forall x, c\in[-\pi, \pi]:$
$\int_c^xf(t)\,\mathrm dt=\int_c^x\frac{a_0}{2}\,\mathrm dt+\sum\limits_{n=1}^\infty\left(a_n\int_c^x\cos nt\,\mathrm dt+b_n\int_c^x\sin nt\,\mathrm dt\right)$
这表明即便是 $f(x)$的Fourier级数不收敛，它的逐项积分收敛到 $f(x)$的积分，这是Fourier积分的特有性质

1.5. 题型：Fourier级数的展开计算

• Step1：分析函数是否满足Dirichlet条件
• Step2：计算Fourier系数
• Step3：分间断点和连续点讨论Fourier级数表达式

1.5.1. 常用化简结构：

$\int_0^\pi x\cos nx\,\mathrm dx=\frac{1}{n^2}\cos nx\Big|_0^\pi=\frac{1}{n^2}\left[(-1)^n-1\right]$
$\int_0^\pi x\sin nx\,\mathrm dx=-\frac{\pi}{n}(-1)^n$

1.5.2. 拓展题型

1.5.2.1. 不以 $2\pi$为周期

在计算的时候，将原问题中的 $\displaystyle\frac{1}{\pi}$换成 $\displaystyle\frac{2}{T}$或表示成 $\displaystyle\frac{1}{l}$

1.5.2.2. 奇偶延拓

区间形如 $[0, l]$的任意函数，都可以通过延拓构造出类似周期函数的结构，这样就可以使用Fourier级数展开。随后将定义域缩小即可。
在数学物理方法中，这称作半幅Fourier级数。除了通常的奇延拓(对应半幅正弦级数)和偶延拓
$\phi(x)=\sum_{n=1}^\infty C_n\sin\frac{n\pi x}{L}=D_0+\sum_{n=1}^\infty D_n\cos\frac{n\pi x}{L}$
之外，还可以有非整数系数的三角级数：
$\phi(x)=\sum_{n=1}^\infty C_n\sin\frac{(2n+1)\pi x}{2L}$
这在有限区间尤其是边值问题当中有广泛应用。
例题：

这个例题综合了这两个拓展问题，值得研究