【时间序列】自适应过滤法预测分析

一、自适应过滤法定义

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(1)自适应过滤法是一种时间序列预测技术，是移动平均法、指数平滑法的通项公式。
(2)与移动平均法和指数平滑法不同的是，自适应过滤法中的权数 $\phi_i$是根据预测误差 $e_t$的大小不断调整修改而获得的最佳权数，而移动平均和指数平滑的权数是固定不变的。

二、自适应过滤法基本原理

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2.1一般模型

设 $x_1,x_2,x_3,...,x_t$为某一时间序列，则一般预测模型通项为：

$\hat x_{t+1}=\phi_1x_t+\phi_2x_{t-1}+...+\phi_px_{t-p+1}$

其中， $\hat x_{t+1}$是 $t+1$的预测值， $p$是权数的个数。

• 对于一次移动平均法， $\phi_i=\frac{1}{p}$
• 对于一次指数平滑法， $\phi_i=\alpha(1-\alpha)^i$

2.2权数调整策略

计算方法

$\phi_i^{'}=\phi_i+2ke_{t+1}x_{t-i+1}$

其中， $\phi_i^{'}$是调整后第 $i$期的权数， $\phi_i$是调整前第 $i$期的权数， $k$是调整系数，即学习常数， $e_{t+1}=x_{t+1}-\hat x_{t+1}$是 $t+1$期的预测误差， $x_{t-i+1}$是 $t-i+1$的观测值。

2.3确定学习常数

学习常数 $k$的取值影响权数调整效果、最终预测效果。
为了使权数迅速逼近最佳值， $k$取值应该尽量接近于 $1$。但是， $k$值过大会使误差序列发散，从而使最终的均方误差有所增大，影响预测效果。
按照上述权数调整策略的自适应过滤法收敛的的充分条件是：

$k<\frac{1}{[\sum_{i=1}^{p}x_i^2]_ {max} }$

三、模型应用

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期数	t=1	t=2	t=3	t=4	t=5
年份	2015	2016	2017	2018	2019
销售额	43	45	48	50	53

自适应过滤法预测2020年、2021年的销售额。
观察到该数据波动不大，基本呈现趋势，所以不需要进行标准化

1.确定权数个数

实际应用中， $p$的取值有严格的规范， $p$越大，达到最佳权数迭代次数越多，这里为了叙述过程较为清晰， $p$取 $2$。

2.确定初始权数

因为 $p$取值为 $2$，所以 $\phi_1=\phi_2=\frac{1}{p}=\frac{1}{2}$

3.计算学习常数

$k<\frac{1}{[\sum_{i=1}^{p}x_i^2]_ {max} }=\frac{1}{50^2+53^2}=0.0002$

4.迭代调整权数

4.1一次迭代调整

根据表中数据，计算 $t=2$时， $t+1$的预测值：

$\hat x_{t+1}=\hat x_3=\phi_1x_2+\phi_2x_1=0.5*45+0.5*43=44$

$e_{t+1}=e_3=x_3-\hat x_3=48-44=4$

根据权数调整策略 $\phi_i^{'}=\phi_i+2ke_{t+1}x_{t-i+1}$调整权数：
$\phi_1^{'}=0.5+2*0.0002*4*45=0.572$

$\phi_2^{'}=0.5+2*0.0002*4*43=0.569$

4.2迭代终止条件

（1）不断用新的权重迭代计算，直到预测误差降为0，系数调整结束。
（2）一般数据不是随机的，所以预测误差无法降至0，此时使用衡量标准均方误差 $MSE$
$MSE=\frac{\sum_{t=p}^{n}({x_{t+1}-\hat x_{t+1}})^2}{n-p}$

即随着迭代的继续， $MSE$没有进一步的改善，认为此时 $MSE$达到最小，系数调整结束。
（3）当权数调整进行到第 $n$期时，迭代调整计算已使用全部数据，而 $MSE$还未达到最小，此时可以将最后一组权数作为新的初始值，重新进行新一轮的调整过程，直至 $MSE$收敛于最小值时，系数调整结束。

5.确定最佳预测模型

本例在经过 $5$轮迭代，误差降至接近 $0$，并且权重达到稳定不变，最佳权数为 $\phi_1=0.54,\phi_2=0.541$

即预测模型为

$\hat x_{t+1}=\phi_1x_t+\phi_2x_{t-1}=0.54x_t+0.541x_{t-1}$

6.模型预测

2020年的销售额：

$\hat x_{6}=0.54x_5+0.541x_{4}=56$

2021年的销售额：

$\hat x_{7}=0.54x_6+0.541x_{5}=59$

四、模型改进

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当数据的波动较大时，比如数据递增，递减，递增，递减这种情况，需要对原始数据值作标准化处理，消除数据和残差的量纲问题，可以加快调整速度，使权数更快收敛，并且使自适应过滤法更为有效。标准化公式为：

$x_{t-i}^{* }=\frac{x_{t-i}}{(\sum_{i=1}^{p}x_{t-i}^{2})^{\frac{1}{2}}}$

$e_{t-i}^{* }=\frac{e_{t-i}}{(\sum_{i=1}^{p}x_{t-i}^{2})^{\frac{1}{2}}}$

其中，分母 $\omega=(\sum_{i=1}^{p}x_{t-i}^{2})^{\frac{1}{2}}$称为标准化常数，更新后的权数调整策略为：

$\phi_i^{'}=\phi_i+2ke_{t+1}^{* }x_{t-i+1}^{* }$