人工智能里的数学修炼 | 概率图模型 ： 隐马尔可夫模型

人工智能里的数学修炼 | 概率图模型 ： 隐马尔可夫模型
人工智能里的数学修炼 | 隐马尔可夫模型：前向后向算法
人工智能里的数学修炼 | 隐马尔可夫模型 ： 维特比(Viterbi)算法解码隐藏状态序列
人工智能里的数学修炼 | 隐马尔可夫模型：基于EM的鲍姆-韦尔奇算法求解模型参数

概率图模型（probabilistic graphical model）是一类用图来表达变量相关关系的概率模型。它以图为表示工具，最常见的是用一个结点表示一个或一组随机变量，结点之间的边表示变量间的概率相关关系，即“变量关系图”。根据边的性质不同，概率图模型可大致分为两类：
第一类是使用有向无环图表示变量间的依赖关系，称为有向图模型或贝叶斯网（Bayesian network）;
第二类是使用无向图表示变量间的相关关系，称为无向图模型或马尔可夫网（Markov network）

隐马尔可夫（hidden markov model, HMM）是结构最简单的动态贝叶斯网，这是一种著名的有向图模型，主要用于时序建模，在语音识别、自然语言处理等领域有着广泛的应用

一、隐马尔可夫模型

隐马尔可夫模型中的变量可以分为两组。
第一组是状态变量 ${y_{1},y_{2},...,y_{n}}$, 其中 $y_{i}\epsilon Y$表示第 $i$个时刻系统的状态。通常假定状态变量是隐藏的、不可被观测的，因此状态变量又被称为隐变量。在隐马尔可夫模型中，系统通常在多个状态 ${s_{1},s_{2},...,s_{N}}$之间转换，因此状态变量 $y_{i}$的取值范围是有 $N$个可能取值的离散空间。
第二组是观测变量 ${x_{1},x_{2},...,x_{n}}$, 其中 $x_{i}\epsilon X$表示第 $i$时刻的观测值。观测变量通常是可以是连续型也可以是离散型，这里仅考虑离散型观测变量，并假定其取值范围为 $X$为 ${o_{1},o_{2},...,o_{M}}$。

隐马尔可夫模型的状态变量与观测变量的基本结构如下图所示

上图中的箭头表示了变量间的依赖关系，同时也解释了隐马尔可夫模型的两个重要假设

• 齐次马尔可夫链假设： $t$时刻的状态 $y_{t}$ 仅依赖于 ${t-1}$时刻的状态 $y_{t-1}$,与其余状态无关，即系统下一时刻的状态仅由当前状态决定，不依赖于以往的任何状态
• 观测独立性假设： 在任一时刻，观测变量的取值仅依赖于状态变量，即 ${x_{t}}$由 ${y_{t}}$确定，与其他状态变量和观测变量无关

这两个假设大大简化了隐马尔可夫模型的复杂度，使其得到广泛应用

二、隐马尔可夫模型的三组参数

第一小节介绍了隐马尔可夫模型的基本图结构，但确定一个隐马尔可夫模型还需要三组参数

• 状态转移概率：模型在各个状态之间转移的概率，记为矩阵 $A=[a_{ij}]_{N \times N}$, 其中
  $a_{ij}=P(y_{t+1}=s_{j}|y_{t}=s_{i}), 1 \leqslant i,j \leqslant N$ 表示在任一时刻 $t$，若当前状态为 $s_{i}$，下一时刻状态为 $s_{j}$的概率

• 输出观测概率：模型根据当前状态获得各个观测值的概率，记为矩阵 $B=[b_{ij}]_{N \times M}$, 其中
  $b_{ij}=P(x_{t}=o_{j}|y_{t}=s_{i}), 1 \leqslant i \leqslant N, 1 \leqslant j \leqslant M$表示在任一时刻 $t$，若状态为 ${s_{i}}$，则观测值 ${o_{j}}$被获取的概率

• 初始状态概率：模型在初始时刻各状态出现的概率，通常记为 $\pi=(\pi_{1},\pi_{2},...,\pi_{N})$, 其中
  $\pi_{i}=P(y_{1}=s_{i})$即模型的初始状态为 $s_{i}$的概率

通过指定上述三组参数 $\lambda=\{A,B,\pi\}$,就能确定一个隐马尔可夫模型，它按照如下过程产生观测序列 ${x_{1},x_{2},..,x_{n}}$:

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1. 设置 $t=1$,并根据初始状态概率 $\pi$选择初始状态 $y_{1}$;
2. 根据状态 $y_{t}$和输出观测概率 $B$选择观测变量取值 $x_{t}$;
3. 根据 $y_{t}$和状态转移矩阵 $A$转移模型状态，确定 $y_{t+1}$;
4. 若 $t<n$,设置 $t=t+1$, 并转到第2步，否则停止

三、 隐马尔可夫模型的三个基本问题

在实际应用中，人们常关注隐马尔可夫模型的三个基本问题：

• 生成观察序列概率：给定模型 $\lambda=\{A,B,\pi\}$, 如何有效计算其产生观测序列 $x={x_{1},x_{2},..,x_{n}}$的概率 $P(x|\lambda)$？换而言之，如何评估模型与观测序列之间的匹配程度。这个问题的求解需要用到前向后向算法，是HMM模型三个问题中最简单的
• 预测问题：给定模型 $\lambda=\{A,B,\pi\}$和观测序列，如何找到与此观测序列最匹配的状态序列 $y={y_{1},y_{2},...,y_{n}}$?换言之，如何根据观测序列推断出隐藏的模型状态？这个问题的求解需要用到基于动态规划的维特比算法，这个问题是HMM模型三个问题中复杂度居中的算法
• 模型参数学习问题：给定观测序列 $x={x_{1},x_{2},...,x_{n}}$, 如何调整模型参数 $\lambda=\{A,B,\pi\}$使得该序列出现的概率 $P(X| \lambda)$最大？即如何训练模型使得其能最好的描述观测数据？这个问题的求解需要用到基于EM算法的鲍姆-韦尔奇算法， 这个问题是HMM模型三个问题中最复杂的。

上述三个问题在实际应用中都有重要意义。例如许多任务需根据以往的观测序列 $x={x_{1},x_{2},...,x_{n-1}}$来推测当前时刻最有可能的观测值 $x_{n}$，这显然可以转化为求取概率 $P(x|\lambda)$， 即上述第一个问题；在语音识别等任务中，观测值为语音信号，隐藏状态为文字，目标就是根据观测信号来推断最有可能的状态序列，即对应上述的第二个问题；至于第三个问题，则是对应于绝大多数机器学习模型所存在的训练模型参数的问题。

reference
[1] 机器学习，周志华