人工智能里的数学修炼 | 隐马尔可夫模型：基于EM的鲍姆-韦尔奇算法求解模型参数

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隐马尔可夫模型的参数为 $\lambda=\{A,B,\pi\}$, 对余其参数的求解，可以分为两种情况。

第一种情况较为简单，就是我们已知长度为 $T$的观测序列和对应的隐藏状态序列，即 $\{(O,I)\}$是已知的，此时我们可以很容易的用最大似然来求解模型参数。

第二种情况较为复杂，很多时候，我们无法得到隐马尔可夫模型观察序列对应的隐藏序列，即只有 $\{O\}$是已知的，此时，我们就需要采用到鲍姆-韦尔奇算法，其实本质上也就是就是EM算法

一、鲍姆-韦尔奇算法原理

鲍姆-韦尔奇算法在每一次迭代中，都分为E和M两步，在E步，我们需要基于联合分布 $P(O,I|\lambda)$和条件概率 $P(I|O,\bar{\lambda})$的算出期望 $Q$（其中 $\bar{\lambda}$为当前迭代中模型参数），然后在M步中极大化这个期望，获得更新的模型参数 $\lambda$。通过不停的EM迭代，使得模型参数收敛

• E步的期望表达式为：
  $Q=\sum_{I}P(I|O,\bar{\lambda})logP(O,I|\lambda)$
• 在M步我们极大化上式，然后得到更新后的模型参数如下：
  $\bar{\lambda}=argmax_{\bar{\lambda}}\sum_{I}P(I|O,\bar{\lambda})logP(O,I|\lambda)$通过，E步和M步不断的迭代，我们可以得到收敛的参数 $\bar{\lambda}$。
  上面的式子可能有些地方不知道该如何计算，接下来讲解，具体的推导和计算方法

二、鲍姆-韦尔奇算法的推导

输入：长度为 $T$的观测序列 $O=\{(o_{1}),(o_{2}),...,(o_{T})\}$，所有的可能的状态集合 ${q_{1},q_{2},...,q_{N}}$, 所有可能的观测集合 ${v_{1},v_{2},...,v_{M}}$
未知：隐藏的状态序列 $I=\{(i_{1}),(i_{2}),...,(i_{T})\}$
目标: $\lambda=\{A,B,\pi\}$

对于鲍姆-韦尔奇算法的E步，我们需要首先计算联合分布 $P(O,I|\lambda)$如下：
$P(O,I|\lambda)=\pi_{i1}b_{i1}(o_{1})a_{i1i2}b_{i2}(o_{2})a_{i2i3}...b_{i(T-1)}(o_{T-1})a_{i(T-1)i(T)}b_{iT}(o_{T})$因为条件概率 $P(I|O,\bar{\lambda})=\frac{P(O,I|\lambda)}{P(O,\lambda)}$且 $P(O,\lambda)$是一个参数, 期望Q可以简化为
$Q=\sum_{I}P(O,I|\bar{\lambda})logP(O,I|\lambda)$将 $P(O,I|\lambda)$带入上式，我们有
$Q=\sum_{I}P(O,I|\bar{\lambda})log\pi_{i}+\sum_{I}(\sum_{t}^{T}logb_{it}(o_{t}))P(O,I|\bar{\lambda})+\sum_{I}(\sum_{t}^{T-1}loga_{iti(t+1)})P(O,I|\bar{\lambda})$

接下来对于对于鲍姆-韦尔奇算法的M步，我们需要极大化Q，这要求对Q的三个子式子分别求导，可以得到
$\bar{\pi}_{i}=\gamma_{1}(i)$其中 $\gamma_{t}(i)=P(i_{t}=q_{i}|O,\lambda)=\frac{P(i_{t}=q_{i},O|\lambda)}{P(O|\lambda))}$表示在观测序列 $O$给定的条件下，时刻 $t$处于状态 $q_{i}$的概率。
$\bar{a}_{ij}=\frac{\sum_{t=1}^{T-1}\xi_{t}(i,j)}{\sum_{t=1}^{T}\gamma_{t}(i)}$这里 $\xi_{t}{(i,j)}=P(i_{t}=q_{i},i_{t+1}=q_{j}|O,\lambda)$表示在观测序列 $O$给定的条件下，时刻 $t$处于状态 $q_{i}$且时刻 $t+1$处于 $q_{j}$的概率。
$\bar{b}_{j}(k)=\frac{\sum_{t-1}^{T}\gamma_{t}(j)I(o_{t}=v_{k})}{\sum_{t=1}^{T}\gamma_{t}(j)}$

三、鲍姆-韦尔奇算法的流程

1. 初始化参数 $\bar{\lambda}=\{A,B,\pi\}$
2. 更新迭代参数
   $\bar{\pi}_{i}=\gamma_{1}(i)$
   $\bar{a}_{ij}=\frac{\sum_{t=1}^{T-1}\xi_{t}(i,j)}{\sum_{t=1}^{T}\gamma_{t}(i)}$
   $\bar{b}_{j}(k)=\frac{\sum_{t-1}^{T}\gamma_{t}(j)I(o_{t}=v_{k})}{\sum_{t=1}^{T}\gamma_{t}(j)}$
3. 模型收敛，停止迭代