一【题目描述】
标题： k倍区间
给定一个长度为N的数列，A1, A2, ... AN，如果其中一段连续的子序列Ai, Ai+1, ... Aj(i <= j)之和是K的倍数，我们就称这个区间[i, j]是K倍区间。
你能求出数列中总共有多少个K倍区间吗？
输入
-----
第一行包含两个整数N和K。(1 <= N, K <= 100000)
以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100000)
输出
-----
输出一个整数，代表K倍区间的数目。
例如，
输入：
5 2
1
2
3
4
5
程序应该输出：
6
资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗 < 2000ms
请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入...” 的多余内容。
注意：
main函数需要返回0;
只使用ANSI C/ANSI C++ 标准;
不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include <xxx>
不能通过工程设置而省略常用头文件。
提交程序时，注意选择所期望的语言类型和编译器类型。
二【解题思路】
看到k倍区间的标题，就想到了最大子序列和最大子串，可能会有关联，比较也都可以用循环判断。所以读完题目之后想到可以用枚举，for循环从第一个数字一直到最后一个数字，内层的for循环则进行累加判断，满足条件加一，判断下一个，不满足则退出，继续从第二个数字开始循环判断。看了一下数据规模，这样做的话应该要考虑优化才可以通过。但是对于查找优化（二分这些都不清楚）。
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int n,k;
int a[100000];
cin>>n>>k;
for(int i=0;i<n;i++)
{
cin>>a[i];
}
int sum=0;
int ans = 0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(a[i]%k==0) ans++;//首先判断a[i]是不是，如果是，那么加一；
sum = a[i];
for(int j=i+1;j<n;j++)
{
sum +=a[j];
if(sum%k==0)
{
ans++;
}
}
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}但是上面的代码只可以解决一部分的数据规模的问题，所以我们考虑优化，我们可以考虑前缀和，在赋值的时候就可以添加前缀和，这样在for循环里面就不用重复的去计算求和的这一部分。可是这样的优化还是不够的，所以我们考虑对前缀和进行k取模操作，然后可以统计相同的余数的个数有多少，然后这样余数相同的和两两相减，肯定是k的倍数。比如5%2=1,7%2=1，那么（7-2）%2==0.所以我们开始码代码吧。
三【解题步骤】
#include<iostream>
#include<map>//这里用map记录余数相同的个数
using namespace std;
int a[100000];//录入的数字
int s[100000];//保存前缀和
map<int,int>cnt;
int main()
{
int n,k;
cin>>n>>k;//处理输入
s[0]=0;
cnt[0]=1;//这里s[0]等于0，那么肯定存在一个数余数是0，所以这里初始化为1
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a[i];
s[i]=(s[i-1]+a[i])%k;//处理前缀和
cnt[s[i]]++;//将相同余数添加进入map容器
}
long long ans = 0;
for(int i=0;i<k;i++)
{
ans+=(long long)cnt[i]*(cnt[i]-1)/2;//这里相同的余数进行两两的组合，那么肯定是组合数C(2,cnt[i])
}
cout<<ans<<endl;//输出结果
return 0;
}四【总结】
当我们有一个一个想法的时候尽量要考虑到时间的优化，这里首先前缀和优化，后面有将内层for循环用排列组合公式优化，最后就得到了符合的代码。如有更好的代码，欢迎交流哦。谢谢
