机器人动力学仿真 - 变量更新顺序不同所产生的结果分析

说明

今年3月初，博主西涯先生提出一个很有意思的问题，他在仿真动力学的时候发现速度更新和位置更新顺序不同，导致结果大不相同！

今天突然想起来这件事，先记录一下。

---

1. 动力学模型

对于一个单杆系统，假设理想情况，不受外力影响且无阻尼，建立动力学模型如下：
$\begin{aligned} &\dot{\theta}=\omega\\ &\dot{\omega}=\frac{\tau}{J}\\ &\tau=-m g L \sin \theta \end{aligned}$

字母就不标注了，反正大家都能看懂！

2. 仿真

程序1：位置先于速度更新

clc;
clear all;
close all;
format long e

%% 参数初始化
T = 10; 
period = 0.01; 
m = 1;
g = 9.8;
L = 0.01;
J = 0.01;
theta = 0.5;
w = 0;
tau = 0;
Record = [];

%% 开始仿真
for t = 0:period:T
    % 计算力矩
    tau = -m*g*L*sin(theta);
    % 位置更新
    theta = theta + period*w;
    % 速度更新
    w = w + period * tau/J;
    % 记录数据
    Record = [Record;t, theta, w, tau];
end

%% 绘图
plot(Record(:,1),Record(:,2)*180/pi, 'g',"LineWidth", 3)
xlabel("时间（s）","FontSize", 20)
ylabel("角度（^。）","FontSize", 20)

位置更新在速度更新之前，由于没有外界能力输入，不可能产生振动现象，该程序仿真结果明显有问题！

程序2：速度更新先于位置更新

clc;
clear all;
close all;
format long e

%% 参数初始化
T = 10; 
period = 0.01; 
m = 1;
g = 9.8;
L = 0.01;
J = 0.01;
theta = 0.5;
w = 0;
tau = 0;
Record = [];

%% 开始仿真
for t = 0:period:T
    % 计算力矩
    tau = -m*g*L*sin(theta);
    % 速度更新
    w = w + period * tau/J;
    % 位置更新
    theta = theta + period*w;
    % 记录数据
    Record = [Record;t, theta, w, tau];
end

%% 绘图
plot(Record(:,1),Record(:,2)*180/pi, 'g',"LineWidth", 3)
xlabel("时间（s）","FontSize", 20)
ylabel("角度（^。）","FontSize", 20)

位置更新在速度更新之后，由于不受外界影响，连杆在重力作用下产生完美的简谐运动！

另外，西涯先生发现仿真步长选取的不同，仿真结果也会有影响。

扫描二维码关注公众号，回复： 10843410 查看本文章

• 对于程序1而言，仿真步长越大，仿真结果越不理想！仿真图如下：
  

• 对于程序2而言，不管仿真如何变化，最终结果相差不大！仿真图如下：
  

3. 分析

问题1：仅仅换了更新位置，为什么会出现这么大的差别呢？

我们来分析一下，首先来看动力学模型，对于 $t$时刻而言，它的状态有：
$\begin{aligned} &\dot{\theta(t)}=\omega(t)\\ &\dot{\omega(t)}=\frac{\tau(t)}{J}\\ &\tau(t)=-m g L \sin \theta(t) \end{aligned}$

整理一下：
$\begin{aligned} &\tau(t)=-m g L \sin \theta(t)\\ &\dot{\omega(t)}=\frac{\tau(t)}{J}\\ &\dot{\theta(t)}=\omega(t)=\dot{\omega(t)}·△t+\omega(t-1)\\ \end{aligned}$

我们可以看到，这个顺序恰恰就是程序2的数据更新顺序，所以程序2仿真结果完全没有问题！

对于程序1而言，把位置更新放在速度更新之前，模型变成：
$\begin{aligned} &\tau(t)=-m g L \sin \theta(t)\\ &\dot{\theta(t)}=\omega(t)=\dot{\omega}(t-1)·△t+\omega(t-1)\\ &\dot{\omega(t)}=\frac{\tau(t)}{J}\\ \end{aligned}$

对于同一时刻而言，模型方程是成立的！但是，我们采用的是近似积分法，这就会导致，位置的更新是基于上一时刻的速度更新的，而理想情况下应该是基于当前速度更新才会使得误差为0！所以问题就处在这儿！

问题2：为什么步长影响会这么大？

对于步长足够小的情况下，上一时刻的速度近似等于该时刻的速度，即微元取的越小，仿真误差就会越小；而随着步长的不断扩大，此时 $t-1$时刻速度已经严重滞后于 $t$时刻，这时候如果还用这种近似等效思想显然误差会足够大！

于是也就不难理解这种现象的产生了！

4. 总结

以上问题的产生，归根到底来自理论与实际方法的不同上！

总的来说，程序2的情况在现实生活中并不存在！大多数情况下，我们的控制可能更接近于程序1中的情况，注意是接近！

现实情况中，采样、计算都需要时间，这就会造成延迟现象，这种延迟会导致我们计算的结果跟理想情况并非处在同一时刻，所以当计算频率足够快时这种由延时引起的方法误差可以忽略不计，但如果延迟非常大，同样无法实现理想效果。

再回想一下采样定理，想想是不是这么个道理！

---

声明

本文转载得到博主西涯先生的许可，基于原文增加分析环节，素材使用请联系西涯先生，本文转载请注明出处。