机器学习（聚类八）——密度聚类

这篇博客介绍另一种类型的聚类算法——密度聚类。

密度聚类方法的指导思想：只要样本点的密度大于某个阈值，则将该样本添加到最近的簇中。这类算法可以克服基于距离的算法只能发现凸聚类的缺点，可以发现任意形状的聚类，而且对噪声数据不敏感。但是计算复杂度高，计算量大。

常用算法：

• DBSCAN
• MDCA

DBSCAN

DBSCAN(Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise)
一个比较有代表性的基于密度的聚类算法，相比于基于划分的聚类方法和层次聚类方法，DBSCAN算法将簇定义为密度相连的点的最大集合，能够将足够高密度的区域划分为簇，并且在具有噪声的空间数据上能够发现任意形状的簇。

DBSCAN算法的核心思想是：用一个点的ε邻域内的邻居点数衡量该点所在空间的密度，该算法可以找出形状不规则的cluster，而且聚类的时候事先不需要给定cluster的数量。

概念

ε 邻域(ε neighborhood，也称为Eps)：给定对象在半径ε内的区域
$N_ϵ (x)={y∈X:dist(x,y)≤ϵ}$
密度(density)：ε 邻域中 x 的密度，是一个整数值，依赖于半径 ε
$p(x)=|N_ϵ (x)|$
MinPts 定义核心点时的阈值，也简记为 M

核心点(core point)：如果 $p(x)>=M$,那么称 x 为 X 的核心点；记由 X 中所有核心点构成的集合为 $X_c$ ，并记 $X_{nc} =X \backslash X_c$ 表示由X中所有非核心点构成的集合。直白来讲，核心点对应于稠密区域内部的点。

边界点(border point): 如果非核心点x的ε邻域中存在核心点，那么认为 x 为 X 的边界点。由 X 中所有的边界点构成的集合为 $X_bd$ 。直白来将，边界点对应稠密区域边缘的点。
x∈X_nc;∃y∈X;y∈N_ϵ (x)∩X_c

噪音点(noise point)：集合中除了边界点和核心点之外的点都是噪音点，所有噪音点组成的集合叫做 $X_{noi}$ ；直白来讲，噪音点对应稀疏区域的点。
$X_{noi}=X \backslash (X_c∪X_{bd})$

直接密度可达(directly density-reachable)：给定一个对象集合 X，如果 y 是在 x 的 ε 邻域内，而且 x 是一个核心对象，可以说对象 y 从对象 x 出发是直接密度可达的
$x,y∈X;x∈X_c,y∈N_ϵ (x)$
密度可达(density-reachable)：如果存在一个对象链 $p_1 ,p_2 ,...,p_m$ ,如果满足 $p_{i+1}$ 是从 {p_i} 直接密度可达的，那么称 {p_m} 是从 {p_1} 密度可达的。

密度相连(density-connected)：在集合 X 中，如果存在一个对象 o ，使得对象 x 和 y 是从 o 关于 ε 和 m 密度可达的，那么对象 x 和 y 是关于 ε 和 m 密度相连的.

簇(cluster)：一个基于密度的簇是最大的密度相连对象的集合C；满足以下两个条件：

• Maximality：若 x 属于 C，而且 y 是从 x 密度可达的，那么 y 也属于 C
• Connectivity：若 x 属于 C，y 也属于C，则 x 和 y 是密度相连的

流程

算法流程：

• 如果一个点 x 的 ε 邻域包含多余 m 个对象，则创建一个 x 作为核心对象的新簇；
• 寻找并合并核心对象直接密度可达的对象；
• 没有新点可以更新簇的时候，算法结束。
  
  算法特征描述:
• 每个簇至少包含一个核心对象
• 非核心对象可以是簇的一部分，构成簇的边缘
• 包含过少对象的簇被认为是噪声

优缺点
优点：

• 不需要事先给定cluster的数目
• 可以发现任意形状的cluster
• 能够找出数据中的噪音，且对噪音不敏感
• 算法只需要两个输入参数
• 聚类结果几乎不依赖节点的遍历顺序

缺点：

• DBSCAN算法聚类效果依赖距离公式的选取，最常用的距离公式为欧几里得距离。但是对
• 于高维数据，由于维数太多，距离的度量已变得不是那么重要
• DBSCAN算法不适合数据集中密度差异很小的情况

MDCA

密度最大值聚类算法，MDCA(Maximum Density Clustering Application)算法基于密度的思想引入划分聚类中，使用密度而不是初始点作为考察簇归属情况的依据，能够自动确定簇数量并发现任意形状的簇；另外MDCA一般不保留噪声，因此也避免了阈值选择不当情况下造成的对象丢弃情况。

MDCA算法的基本思路是寻找最高密度的对象和它所在的稠密区域；MDCA算法在原理上来讲，和密度的定义没有关系，采用任意一种密度定义公式均可，一般情况下采用DBSCAN算法中的密度定义方式

概念

最大密度点：
$x_{max}=\{x│x∈X;∀y∈X,density(x)≥density(y) \}$

有序序列: 根据所有对象与p max 的距离对数据重新排序
$S_{p_{max}}=\{x_1,x_2,…,x_n |dist(x_{max},x_1 )≤dist(x_{max},x_2 )≤…≤dist(x_{max},x_n)\}$

密度阈值 $density_0$；当节点的密度值大于密度阈值的时候，认为该节点属于一个比较固定的簇，在第一次构建基本簇的时候，就将这些节点添加到对应簇中，如果小于这个值的时候，暂时认为该节点为噪声节点。

簇间距离：对于两个簇 $C_1$ 和 $C_2$ 之间的距离，采用两个簇中最近两个节点之间的距离作为簇间距离。
$dist(C_1,C_2 )=min⁡(dist(p,q));p∈C_1,q∈C_2$

聚簇距离阈值 $dist_0$ ：当两个簇的簇间距离小于给定阈值的时候，这两个簇的结果数据会进行合并操作。

M值：初始簇中最多数据样本个数

过程步骤
1 . 将数据集划分为基本簇；

• 对数据集X选取最大密度点 $P_{max}$ ，形成以最大密度点为核心的新簇 $C_i$ ，按照距离排序计算出序列 $S_{p_{max}}$ ,对序列的前 M 个样本数据进行循环判断，如果节点的密度大于等于 $density_0$ ，那么将当前节点添加 $C_i$ 中；
• 循环处理剩下的数据集 X，选择最大密度点 $P_{max}$ ，并构建基本簇 $C_{i+1} $ ，直到X中剩余的样本数据的密度均小于 $density_0$

2 . 使用凝聚层次聚类的思想，合并较近的基本簇，得到最终的簇划分；

• 在所有簇中选择距离最近的两个簇进行合并，合并要求是：簇间距小于等于 $dist_0$ ,如果所有簇中没有簇间距小于 $dist_0$ 的时候，结束合并操作

3 . 处理剩余节点，归入最近的簇

• 最常用、最简单的方式是：将剩余样本对象归入到最近的簇

看一下动态图