模糊综合评判

综合评判就是对受多个因素制约的事物或对象作出一个总的评价，这是在日常生活和科研工作中经常遇到的问题，例如对学生的评价应该考虑到各门功课的成绩，但绝不能忽略品行和健康。在歌手大赛中，也不能只考虑艺术水平而忽略了歌手的文化素质。由于从多方面对事物进行评价难免带有模糊性和主观性，采用模糊数学的方法进行综合评判将使结果尽量客观，从而取得更好的实际效果。

模糊综合评判的数学模型可分为一级模型和多级模型。下面就常用基本的模型进行介绍。

1. 一级模糊综合评判

综合评判有三要素:
(ⅰ) 因素集 $U=\left \{ u_{1} ,u_{2} ,u_{3} ,...,u_{n} \right \}$ ——被评判对象的各因素组成的集合；
(ⅱ) 评判集 $V=\left \{ v_{1} ,v_{2} ,v_{3} ,...,v_{m} \right \}$ ——评语组成的集合；
(ⅲ) 建立单因素判断,即对单个因素 $u_{i}(i=1,2,...,n)$ 的评判,得到V上的模糊集 $(r_{i1},r_{i2},r_{i3},...,r_{im})$ ，所以它是从U到V的一个模糊映射：

$f:U\rightarrow F(V)$

$u_{i}\rightarrow (r_{i1},r_{i2},r_{i3},...,r_{im})$

由模糊映射f可以确定一个模糊关系 $R:R=(r_{ij})_{nm}$ ，称为评判矩阵，它是由所有对单因素评判的模糊集组成的。

由于各因素地位未必相等，所以需对各因素加权，用U上的模糊集 $A=(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n},)$ 表示各因素的权重分配，将它与评判矩阵R进行合成，即得到模糊综合评判集，采用最大隶属度原则对各因素进行综合评判。下面四种综合评判模型则是根据合成运算的不同而得出的。

模型Ⅰ: $M(\vee ,\wedge )$

这里 $b_{j}$ 是 $(r_{i1},r_{i2},r_{i3},...,r_{im})$ 的函数，也就是评判函数。这种方法通过取小与取大两种运算，因此，称该模型为 $M(\vee ,\wedge )$ 模型。此模型的特点是一种“主因素突出法”的综合评判。由于权重系数的作用体现较弱，有时会导致评价结果的不理想，这时需要将进行修正并进行归一化处理。

模型Ⅱ: $M(\cdot ,\vee )$

该模型采用两种运算：一种是普通乘法运算，用·表示；另一种是取大运算，用 $\vee$ 表示。

利用此模型计算为　

其中乘法运算不会丢失有用的信息，而取大运算会丢失有用信息。该模型优点是较好地反映了单因素评价结果的重要程度。

模型Ⅲ: $M(+ ,\wedge )$

该模型采用两种运算：一种是普通加法运算，用+表示；另一种是取小运算，用 $\wedge$ 表示。

利用此模型计算为　

此模型的特点是对每个评语 $v_{j}$ 都同时考虑各种因素的综合评判。

模型Ⅳ: $M(+ ,\cdot )$

该模型采用两种运算：一种是普通加法运算，用“+”表示，另一种是乘法运算，用“·”表示。

利用此模型计算为

此模型的特点是：在确定评语 $v_{j}$ 对模糊综合评判集的隶属度 $b_{j}$ 时，考虑了所有因素 $u_{i}(i=1,2,...,n)$ 的影响；由于同时考虑到所有因素的影响，所以各 $a_{i}$ 的大小具有刻画各因素重要程度的权系数意义。

在上述各种评价模型中，因为运算的定义不同，所以对同一评价对象求出的评价结果也会不一样。

【典例】

服装评判问题

设U={花色式样，耐穿程度，价格费用}，V={很欢迎，比较欢迎，不太欢迎，不欢迎}，对某一种服装，请若干专门人员进行单因素评价。

单考虑花色式样，若有70%的人很欢迎，有20%的人比较欢迎，10%的人不太欢迎便可得出

花色式样→（0.7，0.2，0.1，0）
类似地，可以得到耐穿程度和价格费用的数值，如下：
耐穿程度→（0.2，0.3，0.4，0.1）
价格费用→（0.3，0.4，0.2，0.1）
将上述的所有单因素评判组成评判矩阵，可以得到模糊综合评判矩阵，如下：

不同的顾客，由于职业、性别、年龄、爱好、经济状况等等的不同，对服装的三要素所给予的权数也不同。假若设某类顾客所给的权重为：A=（0.5,0.3,0.2），采用模型Ⅳ可得此类顾客对这种服装的综合评判为：

它表示的评价是：“很欢迎”的程度为47%；“比较欢迎” 的程度为27%；“不太欢迎” 的程度为21%；“不欢迎” 的程度为5%。按最大隶属原则，结论是“很欢迎”。
这个结果是归一化的。如果采用模型“ $\vee$ ”，“ $\wedge$ ”Ⅰ的,运算，得出的综合评判结果不一定是归一化的，因此需将结果归一化处理。

Matlab代码实现

%% 模糊评判矩阵
R = [0.7 0.2 0.1 0 
     0.2 0.3 0.4 0.1
     0.3 0.4 0.2 0.1]
%% 各因素的权重
A = [0.5 0.3 0.2]
%% 隶属度计算
B = A*R

2. 多级模糊综合评判

如果评判对象的有关因素很多，很难合理地定出权数分配，即难以真实地反应各因素在整体的地位，这是需采取多级评判。

多因素多层次系统的综合评判方法是：首先按最低层次的各因素进行综合评价，然后再按上一层次的各因素进行综合评判；依次向更高一层评判，一直评定到最高层次得出总的评价结果。

下面给出多级模糊综合评判的数学模型的一般描述。
假设因素集 $U=\left \{ U_{1}, U_{2}, U_{3}, ...,U_{n}\right \}$ 为，对其中的 $U_{i}(i=1,2,...,n)$ 细划分为 $U_{i}=\left \{ U_{i1},U_{i2},U_{i3},...,U_{im} \right \}$

对其中的 $U_{ij}(i=1,2,...,n;j=1,2,...,m)$ 再进一步细划分为 $U_{ij}=\left \{ U_{ij1},U_{ij2},U_{ij3},...,U_{ijp} \right \}$

如此划分下去，就反映了影响因素的层次性。而评判时，应从最后一次划分最底层的因素开始，一级一级往上评判，直到评定到最高层。
下图给出三级模糊综合评判模型示意，更多级的评判过程依次类推。

【典例】

产品质量的综合评判

对同一个产品质量问题先使用单层模糊综合评判，再使用双层模糊综合评判。
（1）单层模糊综合评判
因素集： $U=\left \{ u_{1},u_{2},u_{3},u_{4},u_{5},u_{6},u_{7},u_{8},u_{9} \right \}$
评判集： $V=\left \{ v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\right \}$ 式中 $v_{1}$ 表一级, $v_{2}$ 二级, $v_{3}$ 等外, $v_{4}$ 表废品。
权重向量：A=(0.1,0.12,0.07,0.07,0.16,0.1,0.1,0.1,0.18)
评判矩阵：由专家、客户、质量检查员组成的评判小组，先打分并做简单处理得到如下的综合评判矩阵：

利用模型Ⅰ计算综合评判

结果显示，无论是一级、二级、等外、废品的隶属度都是0.18，对这个具体问题而言模糊变换无法给出答案。可以采用其他方法，例如加权平均，也可以采用双层模糊综合评判。

（2）双层模糊综合评判
因素集：

评判集： $V=\left \{ v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\right \}$ 式中 $v_{1}$ 表一级, $v_{2}$ 二级, $v_{3}$ 等外, $v_{4}$ 表废品。
第一层权重向量：

第一层评价矩阵：

第一层评判，使用模型Ⅰ，有

第二层评判矩阵：将一层评判结果组合起来形成二级评判矩阵。

第二层权重分配：因素集 $U=\left \{ U_{1},U_{2}, U_{3} \right \}$ 的权重分配为A=(0.2,0.35,0.45)。
第二层评判，仍然使用模型Ⅰ，有

按最大隶属度原则，此产品属一级品。

Matlab代码实现

模糊综合评价的函数：fuzzy_zhpp.m

function[B]=fuzzy_zhpp(model,A,R) %模糊综合评判
B=[];
[m,s1]=size(A);
[s2,n]=size(R);
if(s1~=s2)
     disp('A的列不等于R的行');
else
    if(model==1)                 %主因素决定型
        for(i=1:m)
           for(j=1:n)
               B(i,j)=0;
               for(k=1:s1)
                   x=0;
                   if(A(i,k)<R(k,j))
                      x=A(i,k);
                   else
                      x=R(k,j);
                   end
                  if(B(i,j)<x)
                     B(i,j)=x;
                  end
               end
           end
       end
   elseif(model==2)               %主因素突出型
       for(i=1:m)
          for(j=1:n)
              B(i,j)=0;
              for(k=1:s1)
                  x=A(i,k)*R(k,j);
                  if(B(i,j)<x)
                     B(i,j)=x;
                  end
              end
          end
       end
   elseif(model==3)              %加权平均型
          for(i=1:m)
             for(j=1:n)
                B(i,j)=0;
                for(k=1:s1)
                    B(i,j)=B(i,j)+A(i,k)*R(k,j);
                end
              end
           end
    elseif(model==4)             %取小上界和型
           for(i=1:m)
               for(j=1:n)
                   B(i,j)=0;
                   for(k=1:s1)
                       x=0;
                       x=min(A(i,k),R(k,j));
                       B(i,j)=B(i,j)+x;
                   end
                       B(i,j)=min(B(i,j),1);
               end
            end
      elseif(model==5)            %均衡平均型
            C=[];
            C=sum(R);
            for(j=1:n)
               for(i=1:s2)
                   R(i,j)=R(i,j)/C(j);
               end
            end
            for(i=1:m)
                for(j=1:n)
                    B(i,j)=0;
                   for(k=1:s1)
                       x=0;
                       x=min(A(i,k),R(k,j));
                       B(i,j)=B(i,j)+x;
                   end
                end
            end
        else
            disp('模型赋值不当');
        end
end
end

主函数：main.m

function main
A1=[0.30 0.42 0.28];
A2=[0.20 0.50 0.30];
A3=[0.30 0.30 0.40];

R=[0.30 0.32 0.26 0.27;
    0.26 0.36 0.20 0.20;
    0.40 0.28 0.30 0.20];
fuzzy_zhpp(1,A1,R)
fuzzy_zhpp(1,A2,R)
fuzzy_zhpp(1,A3,R)
end

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数学评价模型（二）：模糊综合评判

1. 一级模糊综合评判

模型Ⅰ: $M(\vee ,\wedge )$

模型Ⅱ: $M(\cdot ,\vee )$

模型Ⅲ: $M(+ ,\wedge )$

模型Ⅳ: $M(+ ,\cdot )$

【典例】

Matlab代码实现

2. 多级模糊综合评判

【典例】

Matlab代码实现

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