一、模糊数学

1.模糊集

定义

2.模糊集的运算

一、模糊数学

利用模糊集及其运算研究，处理模糊不确定现象和关系的数学分支学科。

模糊集和模糊综合评价

1.模糊集

“亦此亦彼”的模糊性，排中律破损造成的。

定义

设给定论域U，所谓U上的一个模糊集A是指对于任意 $x\in U$ ，都能确定一个正数 $\mu _{A}(x)\in [0,1]$ 用其表示 $x$ 属于 $A$ 的程度。映射

$x\in U\rightarrow \mu _{A}(x)\in [0,1]$

称为 $A$ 的隶属函数，函数值 $u _{A}(x)$ 称为 $x$ 对 $A$ 的隶属度

每个元素都有隶属度的集合即为模糊集，确定模糊集的关键是构造隶属函数

2.模糊集的运算

通过隶属函数完成

设模糊集A,B的隶属函数为 $u _{A}(x),u _{B}(x)$ ，则A与B的常用运算有：

包含： $A\subset B\Leftrightarrow u _{A}(x)\leq u _{B}(x)$
相等： $A= B\Leftrightarrow u _{A}(x)= u _{B}(x)$
交： $C=A\cup B\Leftrightarrow u _{C}(x)=u _{A}(x)\vee u _{B}(x)$
补： $A^{C}\Leftrightarrow u _{A^{C}}(x)=1-u _{A}(x)$
内积： $A\cdot B=\vee (A(x)\wedge B(x))$
外积： $A\otimes B=\wedge (A(x)\vee B(x))$

3.常用模糊分布

二、模糊综合评价

以模糊数学为基础，应用模糊关系合成原理，将一些边界不清、不易定量的因素定量化。

首先确定被评价对象的因素集和评价集，然后再分别确定各因素的权重及其隶属度向量，获得模糊评价矩阵（一般难以取得），最终将模糊评价矩阵与因素的权向量进行模糊运算并归一化，得到综合评价结果。

1.确定评价指标和评价等级

设 $U={u_{1},u_{2},u_{3}...,u_{m}}$ 为刻画被评价对象的m种因素，即评价指标；m为评价因素的个数

$V={v_{1},v_{2},v_{3}...,v_{m}}$ 为刻画每一因素所在状态的n种评语，即为评价等级。n为评语的个数（等级

2.构造模糊综合评价矩阵

对每个评价指标 $u_{i}$ 逐一进行模糊评价。

方法

对评价指标 $u_{i}$ 给出其能被评为等级 $v_{j}$ 的隶属度 $r_{ij}$ 。 $r_{ij}$ 可理解为指标 $u_{i}$ 对于等级 $v_{j}$ 的隶属度，通常要将 $r_{ij}$ 归一化以便使用。

每一行从左向右分别代表 $u_{i}$ 对于不同评价等级（ $v_{i}$ ）的隶属度（指数），每一行相加一定等于1

（eg， $u_{1}$ 代表花色， $r_{11}$ 代表受欢迎比例， $r_{12}$ 代表一般的比例， $r_{13}$ 代表不受欢迎的比例）

3.评价指标权重的确定

引入模糊向量 $A=(a_{1},a_{2},a_{3}...,a_{n})$ 来表示各评价指标在目标中所占权重，称之为权重向量。其中 $a_{i}$ 为 $u_{i}$ 的权重。（用层次分析法得到各个指标的权重 $a_{i}$ ）

变异系数法得到权重向量A

使用前提是重要性相当

若某项指标数值差异较大（方差大），能区分开各评价对象，应该给该指标较大的权重。

➡️可以用方差定义指标的权重

定义指标的分辨能力为： $v_{i}=\frac{s_{i}}{\left | \vec{x_{i}} \right |}$ (标准差/均值)