写在前面: 笔记为自行整理,内容出自课程《数学建模学习交流》,主讲人:清风
概述
(1) 数学归纳法和秃子悖论 归纳法:当
n
=
1
n=1
n = 1 时,某条件成立;假设
n
=
k
n=k
n = k 时成立,接下来验证
n
=
k
+
1
n=k+1
n = k + 1 时也成立。 秃子悖论:假如一个人头发茂密,那当他减少一根头发后不是秃子;假设减少
k
k
k 根不是秃子,那么减少
k
+
1
k+1
k + 1 根也不是秃子。 解释:压死骆驼的最后一根稻草;量变引起质变;模糊 。 (2) 数学中研究的量的划分
量
{
确定性:经典数学(几何、代数)
不确定性
{
随机性(概率论、随机过程)
灰性(灰色系统)
模糊性(模糊数学)
\text{量}\left\{ \begin{array}{l} \text{确定性:经典数学(几何、代数)}\\ \text{不确定性}\left\{ \begin{array}{l} \text{随机性(概率论、随机过程)}\\ \text{灰性(灰色系统)}\\ \text{模糊性(模糊数学)}\\ \end{array} \right.\\ \end{array} \right.
量 ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ 确定性:经典数学(几何、代数) 不确定性 ⎩ ⎨ ⎧ 随机性(概率论、随机过程) 灰性(灰色系统) 模糊性(模糊数学) (3) 生活中的确定性与模糊性 确定:身高、体重、性别、年龄 模糊:帅、高、白、年轻 (4) 模糊数学 模糊数学又称Fuzzy 数学,是研究和处理模糊性现象的一种数学理论和方法。模糊性数学发展的主流是在它的应用方面。 由于模糊性概念已经找到了模糊集的描述方式,人们运用概念进行判断、评价、推理、决策和控制的过程也可以用模糊性数学的方法来描述。例如模糊聚类分析、模糊模式识别、模糊综合评判、模糊决策与模糊预测、模糊控制、模糊信息处理等。这些方法构成了一种模糊性系统理论,构成了一种思辨数学的雏形,它已经在医学、气象、心理、经济管理、石油、地质、环境、生物、农业、林业、化工、语言、控制、遥感、教育、体育等方面取得具体的研究成果。——百度百科
经典集合和模糊集合的基本概念
(1) 经典集合与特征函数 a.集合:具有相同属性的事物的集体。 b.集合的基本属性:互斥性,确定性。 c.数学中对于经典集合的刻画:特征函数
f
A
:
U
→
{
0
,
1
}
U
:
论域
(
感兴趣的一些对象的集合
)
;
f
A
:
集合
A
的特征函数
f_A:\ U\rightarrow \left\{ 0,1 \right\} \ \ U:\text{论域}\left( \text{感兴趣的一些对象的集合} \right) \text{;}f_A:\text{集合}A\text{的特征函数}
f A : U → { 0 , 1 } U : 论域 ( 感兴趣的一些对象的集合 ) ; f A : 集合 A 的特征函数 举个例子:
A
=
{
60
,
61
,
.
.
.
,
100
}
f
A
=
{
1
,
a
i
≥
60
0
,
a
i
<
60
U
:
全班成绩的一个集合
{
42
,
96
,
85
,
.
.
.
}
A=\left\{ 60,61,...,100 \right\} \ \ f_A=\left\{ \begin{array}{l} 1,\ a_i\ge 60\\ 0,\ a_i<60\\ \end{array} \right. \ \ U:\text{全班成绩的一个集合}\left\{ 42,96,85,... \right\}
A = { 6 0 , 6 1 , . . . , 1 0 0 } f A = { 1 , a i ≥ 6 0 0 , a i < 6 0 U : 全班成绩的一个集合 { 4 2 , 9 6 , 8 5 , . . . }
则有:
∀
x
∈
U
,
f
A
(
x
)
=
{
1
,
x
∈
A
0
,
x
∉
A
\text{则有:}\forall x\in U,\ f_A\left( x \right) =\left\{ \begin{array}{l} 1,\ x\in A\\ 0,\ x\notin A\\ \end{array} \right.
则有: ∀ x ∈ U , f A ( x ) = { 1 , x ∈ A 0 , x ∈ / A (2) 模糊集合与隶属函数 a.模糊集合:用来描述模糊性概念的集合(帅、高、年轻)。 b.与经典集合不同,模糊集合承认亦此亦彼。 c.数学中对于模糊集合的刻画:隶属函数
u
A
:
U
→
[
0
,
1
]
(此处为区间,注意与集合的区别)
u_A:\ U\rightarrow \left[ 0,1 \right] \text{(此处为区间,注意与集合的区别)}
u A : U → [ 0 , 1 ] (此处为区间,注意与集合的区别) 例:
A
=
"
年
轻
"
A="年轻"
A = " 年 轻 " ,
U
=
(
0
,
150
)
U=(0,150)
U = ( 0 , 1 5 0 )
u
A
(
x
)
=
{
1
,
0
<
x
<
20
40
−
x
20
,
20
≤
x
≤
40
0
,
40
<
x
<
150
u_A\left( x \right) =\left\{ \begin{array}{l} \ \ \ 1\ \ \ \ \ ,0<x<20\\ \frac{40-x}{20}\ ,20\le x\le 40\\ \ \ \ 0\ \ \ \ \ ,40<x<150\\ \end{array} \right.
u A ( x ) = ⎩ ⎨ ⎧ 1 , 0 < x < 2 0 2 0 4 0 − x , 2 0 ≤ x ≤ 4 0 0 , 4 0 < x < 1 5 0 对于
U
U
U 中每个元素,均对应于
A
A
A 中的一个隶属度,隶属度介于
[
0
,
1
]
[0,1]
[ 0 , 1 ] ,越大表示越属于这种集合。(此例中越接近于1代表越年轻)
隶属函数的三种确定方法
(1) 模糊统计法 原理:寻找多个人对同一个模糊概念进行描述,用隶属频率去定义隶属度。 例:询问100个人对于年轻认可的区间,
[
0
,
20
]
;
[
0
,
24
]
.
.
.
[0,20];[0,24]...
[ 0 , 2 0 ] ; [ 0 , 2 4 ] . . . 。假设有90个人认为20岁属于年轻区间,那么20岁对应的隶属频率就是
90
/
100
90/100
9 0 / 1 0 0 ,进而得到隶属度为
0.9
0.9
0 . 9 。 (2) 借助已有的客观尺度(需要有合适的指标,并能收集到数据)
论域
模糊集
隶属度
设备
设备完好
完好率
产品
质量优质
正品率
家庭
小康家庭
恩格尔系数
注:指标需介于0和1之间 (3) 指派法(根据问题的性质直接套用某些分布作为隶属度) 例如用柯西分布确定“年轻”的隶属函数: 因为“年轻”是偏小型(值越小隶属度越接近于1),对应柯西分布为:
A
(
x
)
=
{
1
,
x
≤
a
1
1
+
α
(
x
−
a
)
β
,
x
>
a
A\left( x \right) =\left\{ \begin{array}{l} \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ ,\ x\le a\\ \frac{1}{1+\alpha \left( x-a \right) ^{\beta}}\ ,\ x>a\\ \end{array} \right.
A ( x ) = { 1 , x ≤ a 1 + α ( x − a ) β 1 , x > a 有未知参数:
a
、
α
、
β
a、\alpha、\beta
a 、 α 、 β 根据生活经验可令
a
=
20
a=20
a = 2 0 (观测值小于20时认为年轻,即隶属度为1),
A
(
30
)
=
0.5
A(30)=0.5
A ( 3 0 ) = 0 . 5 (一般认为40岁为中年人,30位于20与40中间,所以取0.5)。 同时,考虑到模型的简化,
β
\beta
β 一般取1或2。
应用:模糊综合评价
评价问题概述
模糊评价问题是要把论域中的对象对应到评语集中一个指定的评语 或将方案作为评语集并选择一个最优的方案 在模糊综合评价中,引入了三个集合: ① 因素集(评价指标集):
U
=
{
u
1
,
u
2
,
⋯
,
u
n
}
U=\left\{ u_1,u_2,\cdots ,u_n \right\}
U = { u 1 , u 2 , ⋯ , u n } ② 评语集(评价的结果):
V
=
{
v
1
,
v
2
,
⋯
,
v
m
}
V=\left\{ v_1,v_2,\cdots ,v_m \right\}
V = { v 1 , v 2 , ⋯ , v m } ③ 权重集(指标的权重):
A
=
{
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
}
A=\left\{ a_1,a_2,\cdots ,a_n \right\}
A = { a 1 , a 2 , ⋯ , a n } 例如:评价一名学生的表现
U
=
{
专业排名,课外实践,志愿服务,竞赛成绩
}
U=\left\{ \text{专业排名,课外实践,志愿服务,竞赛成绩} \right\}
U = { 专业排名,课外实践,志愿服务,竞赛成绩 }
V
=
{
优、良、差
}
V=\left\{ \text{优、良、差} \right\}
V = { 优、良、差 }
A
=
{
0.5
,
0.1
,
0.1
,
0.3
}
A=\left\{ 0.5,0.1,0.1,0.3 \right\}
A = { 0 . 5 , 0 . 1 , 0 . 1 , 0 . 3 }
一级模糊综合评价模型
对企业员工进行考核 步骤: (1) 确定因素集 如员工的工作业绩、工作态度、沟通能力、政治表现等。记为:
U
=
{
u
1
,
u
2
,
⋯
,
u
n
}
U=\left\{ u_1,u_2,\cdots ,u_n \right\}
U = { u 1 , u 2 , ⋯ , u n } 一级模糊评价中,
n
n
n 往往较小
(
≤
5
)
(\le5)
( ≤ 5 ) ,且指标间的相关性弱。 (2) 确定评语集 如好、较好、中等、较差、很差等。记为:
V
=
{
v
1
,
v
2
,
⋯
,
v
m
}
V=\left\{ v_1,v_2,\cdots ,v_m \right\}
V = { v 1 , v 2 , ⋯ , v m } (3) 确定各因素的权重
A
=
{
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
}
A=\left\{ a_1,a_2,\cdots ,a_n \right\}
A = { a 1 , a 2 , ⋯ , a n }
a
i
表
示
第
i
个
指
标
的
权
重
,
且
∑
a
i
=
1
a_i表示第i个指标的权重,且 \sum{a_i}=1
a i 表 示 第 i 个 指 标 的 权 重 , 且 ∑ a i = 1 确定权重的方法可以是Delphi法,也可以是层次分析法、熵权法。 (4) 确定模糊综合判断矩阵 对于指标
u
i
u_i
u i 来说,对各个评语的隶属度为
V
V
V 上的模糊子集。对指标
u
i
u_i
u i 的评判记为:
R
i
=
[
r
i
1
,
r
i
2
,
⋯
,
r
i
m
]
\boldsymbol{R}_i=\left[ r_{i1},r_{i2},\cdots ,r_{im} \right]
R i = [ r i 1 , r i 2 , ⋯ , r i m ]
r
i
m
是
指
标
i
对
于
评
语
m
的
隶
属
度
r_{im}是指标i对于评语m的隶属度
r i m 是 指 标 i 对 于 评 语 m 的 隶 属 度 各指标的模糊综合评价矩阵为:
R
=
[
r
11
r
12
⋯
r
1
m
r
21
r
22
⋯
r
2
m
⋮
⋮
⋱
⋮
r
n
1
r
n
2
⋯
r
n
m
]
\boldsymbol{R}=\left[ \begin{matrix} r_{11}& r_{12}& \cdots& r_{1m}\\ r_{21}& r_{22}& \cdots& r_{2m}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ r_{n1}& r_{n2}& \cdots& r_{nm}\\ \end{matrix} \right]
R = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ r 1 1 r 2 1 ⋮ r n 1 r 1 2 r 2 2 ⋮ r n 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ r 1 m r 2 m ⋮ r n m ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ (5) 综合评判 综合评判结果
B
1
×
m
=
A
1
×
n
⋅
R
n
×
m
\boldsymbol{B}_{1\text{×}m}=\boldsymbol{A}_{1\text{×}n}\cdot \boldsymbol{R}_{n\text{×}m}
B 1 × m = A 1 × n ⋅ R n × m 记
B
=
[
b
1
,
b
2
,
⋯
,
b
m
]
\boldsymbol{B}=[b_1,b_2,\cdots,b_m]
B = [ b 1 , b 2 , ⋯ , b m ] ,若
max
{
b
1
,
b
2
,
⋯
,
b
m
}
=
b
k
\max \left\{ b_1,b_2,\cdots ,b_m \right\} =b_k
max { b 1 , b 2 , ⋯ , b m } = b k ,则将该评价对象划分到评语
k
k
k 这一类。
多级模糊综合评价模型
若因素集中的元素较多,那他们之间难免存在相关性,因此我们可以对其进行归类。 例如评价某个学生的表现:
因素集
U
{
学习成绩
U
1
(
0.4
)
{
专业课成绩
(
0.6
)
非专业课成绩
(
0.4
)
竞赛成绩
U
2
(
0.3
)
{
国家级竞赛成绩
(
0.5
)
省级竞赛成绩
(
0.3
)
校级竞赛成绩
(
0.2
)
个人荣誉
U
3
(
0.2
)
{
国家级荣誉
(
0.5
)
省级荣誉
(
0.3
)
校级荣誉
(
0.2
)
志愿服务
U
4
(
0.1
)
—
志愿服务次数
(
1
)
\text{因素集}U\left\{ \begin{array}{l} \text{学习成绩}U_1\ \left( 0.4 \right) \left\{ \begin{array}{l} \text{专业课成绩}\left( 0.6 \right)\\ \text{非专业课成绩}\left( 0.4 \right)\\ \end{array} \right.\\ \text{竞赛成绩}U_2\left( 0.3 \right) \left\{ \begin{array}{l} \text{国家级竞赛成绩}\left( 0.5 \right)\\ \text{省级竞赛成绩}\left( 0.3 \right)\\ \text{校级竞赛成绩}\left( 0.2 \right)\\ \end{array} \right.\\ \text{个人荣誉}U_3\left( 0.2 \right) \left\{ \begin{array}{l} \text{国家级荣誉}\left( 0.5 \right)\\ \text{省级荣誉}\left( 0.3 \right)\\ \text{校级荣誉}\left( 0.2 \right)\\ \end{array} \right.\\ \text{志愿服务}U_4\left( 0.1 \right) —\text{志愿服务次数}\left( 1 \right)\\ \end{array} \right.
因素集 U ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ 学习成绩 U 1 ( 0 . 4 ) { 专业课成绩 ( 0 . 6 ) 非专业课成绩 ( 0 . 4 ) 竞赛成绩 U 2 ( 0 . 3 ) ⎩ ⎨ ⎧ 国家级竞赛成绩 ( 0 . 5 ) 省级竞赛成绩 ( 0 . 3 ) 校级竞赛成绩 ( 0 . 2 ) 个人荣誉 U 3 ( 0 . 2 ) ⎩ ⎨ ⎧ 国家级荣誉 ( 0 . 5 ) 省级荣誉 ( 0 . 3 ) 校级荣誉 ( 0 . 2 ) 志愿服务 U 4 ( 0 . 1 ) — 志愿服务次数 ( 1 ) 二级模糊综合评价模型 (1) 划分因素集
U
=
{
u
1
,
u
2
,
⋯
,
u
n
}
U=\left\{ u_1,u_2,\cdots ,u_n \right\}
U = { u 1 , u 2 , ⋯ , u n } 为若干组
U
=
{
U
1
,
U
2
,
⋯
,
U
k
}
U=\left\{ U_1,U_2,\cdots ,U_k \right\}
U = { U 1 , U 2 , ⋯ , U k }
U
:
第一级因素集
U:\text{第一级因素集}
U : 第一级因素集
U
i
:
第二级因素集
U_i:\text{第二级因素集}
U i : 第二级因素集 (2) 确定评语集
V
=
{
v
1
,
v
2
,
⋯
,
v
m
}
V=\left\{ v_1,v_2,\cdots ,v_m \right\}
V = { v 1 , v 2 , ⋯ , v m } ,并对第二级因素集
U
i
=
{
u
1
(
i
)
,
u
2
(
i
)
,
⋯
,
u
n
i
(
i
)
}
U_i=\left\{ u_{1}^{\left( i \right)},u_{2}^{\left( i \right)},\cdots ,u_{n_i}^{\left( i \right)} \right\}
U i = { u 1 ( i ) , u 2 ( i ) , ⋯ , u n i ( i ) } 进行评判得到综合评价判断矩阵:
R
i
=
[
r
11
(
i
)
r
12
(
i
)
⋯
r
1
m
(
i
)
r
21
(
i
)
r
22
(
i
)
⋯
r
2
m
(
i
)
⋮
⋮
⋱
⋮
r
n
i
1
(
i
)
r
n
i
2
(
i
)
⋯
r
n
i
m
(
i
)
]
(
i
=
1
,
2
,
⋯
,
k
)
\boldsymbol{R}_i=\left[ \begin{matrix} r_{11}^{\left( i \right)}& r_{12}^{\left( i \right)}& \cdots& r_{1m}^{\left( i \right)}\\ r_{21}^{\left( i \right)}& r_{22}^{\left( i \right)}& \cdots& r_{2m}^{\left( i \right)}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ r_{n_i1}^{\left( i \right)}& r_{n_i2}^{\left( i \right)}& \cdots& r_{n_im}^{\left( i \right)}\\ \end{matrix} \right] \ \ \left( i=1,2,\cdots ,k \right)
R i = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ r 1 1 ( i ) r 2 1 ( i ) ⋮ r n i 1 ( i ) r 1 2 ( i ) r 2 2 ( i ) ⋮ r n i 2 ( i ) ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ r 1 m ( i ) r 2 m ( i ) ⋮ r n i m ( i ) ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ( i = 1 , 2 , ⋯ , k ) 若
U
i
=
{
u
1
(
i
)
,
u
2
(
i
)
,
⋯
,
u
n
i
(
i
)
}
U_i=\left\{ u_{1}^{\left( i \right)},u_{2}^{\left( i \right)},\cdots ,u_{n_i}^{\left( i \right)} \right\}
U i = { u 1 ( i ) , u 2 ( i ) , ⋯ , u n i ( i ) } 的权重为
A
i
=
{
a
1
(
i
)
,
a
2
(
i
)
,
⋯
,
a
n
i
(
i
)
}
A_i=\left\{ a_{1}^{\left( i \right)},a_{2}^{\left( i \right)},\cdots ,a_{n_i}^{\left( i \right)} \right\}
A i = { a 1 ( i ) , a 2 ( i ) , ⋯ , a n i ( i ) } ,则综合评判为
B
i
=
A
i
⋅
R
i
(
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
k
)
\boldsymbol{B}_{i}=\boldsymbol{A}_{i}\cdot \boldsymbol{R}_{i} (i=1,2,...,k)
B i = A i ⋅ R i ( i = 1 , 2 , . . . , k ) (3) 再对第一级因素
U
=
{
U
1
,
U
2
,
⋯
,
U
k
}
U=\left\{ U_1,U_2,\cdots ,U_k \right\}
U = { U 1 , U 2 , ⋯ , U k } 进行综合评判,若权重为
A
=
{
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
k
}
A=\left\{ a_1,a_2,\cdots ,a_k \right\}
A = { a 1 , a 2 , ⋯ , a k } ,则
R
=
[
B
1
B
2
⋮
B
k
]
\boldsymbol{R}=\left[ \begin{array}{c} \boldsymbol{B}_1\\ \boldsymbol{B}_2\\ \vdots\\ \boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}\\ \end{array} \right]
R = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ B 1 B 2 ⋮ B k ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 综合评判为
B
=
A
⋅
R
\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{R}
B = A ⋅ R (4) 按最大隶属度原则确定相应评语或方案