一、first集，follow集，以及select集求法解析

将对first集，follow集，select集分为三种讲解方法：

①定义介绍及推导
②简单推导演示
③规范式推导

讲解顺序为，先用最简单的推导介绍三种不同的集，然后介绍概念，最后介绍正规的推导方法

三种方法，不同人喜欢不同的理解方法，大家都可以参考，推导方法越往后，越规范！

默认规则：

起始符S，其余大写字母为非终结符；
小写字母为终结符，#为ε； 
产生式： A->BC,  其中这个是关于A的产生式，A为左部（左边部分），BC为右部  （右边部分）
Vt是终结符
Vn是非终结符

二、例子详解

文法G[S]：
S-> AB|bC
A->#|b
B->aD|#
C->AD|b
D->aS|c

1、关于first集：

①简单推导

first，顾名思义就是该关于该符号的所有产生式右部第一个遇到终结符。

例如：first(S)

用上面那句话：关于S的产生式有两个：S->AB,S->bC
 
先看简单的情况：S->bC,明显右部第一个终结符是b,  那关于这个产生式的终结符就是b 了，解决一个！
 
这个时候first(S)={b}
 
然后是S->AB，这时右部的第一个是A，非终结符，所以不成立。这时你就要再把A的产生式引进来（因为A有关于他的产生式）。
 
关于A的产生式为：A->#,A->b,分别代入S->AB的产生式得：S->B(应该是S->#B，但是#可以省略) 和S->bB.
 
看第二个S->bB ，马上就可以知道遇到的第一个终结符是b,
 
这个时候first(S)={b}
然后看第一个S->B，这个时候B不是终结符，所以不成立，这时就要把B的产生式导进来。
 
变成S->aD ,S->#,
 
然后上面两个式子，分别第一个终结符为a,和 #
 
则这个时候first(S)={b, a , #}
 
 
这里强调一下 。
为什么S->AB ，会变成后面的S->B 而S->aD就没有S->D？
 因为A的产生式是有一个A->#,就是指向空，这个时候代入S->AB不就等于 S->B了吗。而S-aD。
 因为已经找到第一个终结符了，所以这个产生式就结束推导了。

②定义讲解：

定义：设G=（Vt，Vn，P，S）是上下文无关文法。

first（A）={a| A=>ab, a∈Vt，b∈V}

若a=*>ε ,则规定ε ∈first(a).成first（a）为a的开始符号集或首符号集

上面是大白话，下面是系统总结一下：

first，顾名思义就是该关于该符号的所有产生式右部第一个遇到终结符。

举例：
 
一、单个非终结符的first集
(1)求终结符的first集，是他本身
first(a)={a}
 
(2)X->a....
first（X）= a....，取右部的终结符，则a∈first（x）
 
(3)X->YZ... 
first(X)=YZ...,  当右部第一个符号(Y)是非终结符的时候，你就要把这个符号（Y）的产生式导进来了，然后再判断右边第一个是否是终结符。
若Y的产生式存在#，则继续导入Z的产生式寻找右边第一个终结符，重复以上动作。
即first（X）=first（Y），若存在Y->#，则继续first（X）=first（Z），直到非终结符不存在#结束。

二、多个非终结符
X->M...
Y->N...
first（XY）=M...N...  ,同样找右边第一个是终结符的符号，

③正规推导：

（1）对每一文法X∈V，计算first（X）
 
（2）①X∈Vt，则first（X）={X}
 
    ②X∈Vn（非终结符），且有X->a , 则a∈first（X）
 
    ③X∈Vn（非终结符），且有X-># , 若#∈first（X）
 
    ④若有X，Y1,Y2,Y3...∈Vn，且有产生式X->Y1,Y2,Y3=*>#,则first（Y1）-{#}，first（Y2）-{#}...first（Yi）都属于first（X）找中
    
       重复②-④
 
    ⑤当所有Yi=*>#   则first（X）=first（Y1）-{#}∪first（Y2）-{#}.....∪first（Yi）
    
当有X-># ，才能说#∈first（X）；

2、关于follow集：

follow，顾名思义，就是该符号后面跟着的第一个终结符。

PS：求follow集，都是从开始符号S开始推导

①定义介绍

设G=（Vt，Vn，P，S）是上下文无关算法，A属于Vn，S是开始符号
follow(A)={a|S=>uAb 且a∈Vt，a∈first（b），u∈Vt，b属于V}

也可定义为 
follow(A)={a | S=*>.....Aa....,a∈Vt}.....（1）
 
若 S=*>...AB....,
则follow(A)=first（B）....（2）
 
若 S=*>....A   ，
因为这个时候A属于S，因此这个时候应该看得是S后面的东西也就是follow（S）∈follow(A)....（3）
  
若 S=*>...AB，
这个时候first（B）存在空的情况，而这个时候first的空集不能出现在follow集中，因此还应该看S后面的东西，因此这个等于follow（A）=（first（B）-{#}）∪follow（S）....（4）

通过上面（1）（2）（3）（4）不难得出，follow（A)就是从开始符号通过各种产生式推导，直到出现A，然后取A后面的第一个终结符；

ps ：first产生的空集不能给follow，只有follow产生的才可以给，参考上面的（4）；

②简单推导：

（1）终结符的follow没有定义，只有非终结符的follow才有定义

（2） 
假设： 
S->xAy 
A->aBb
 
先求上面
follow(A): 
因为要找A后面的跟着的第一个终结符，所以应该直接看谁能产生A，得S->xAy,
此时A后面跟着的终结符是y，因此follow（A）={y} ，解决！
 
求FOLLOW（B），则先找谁能产生B： 
B的产生式：A->aBb,
此时，要把first（b）（因为是B后面遇到第一个终结符，也就是first(b)，也就是b的first集合）

但是如果这个时候b等于#，那么B的follow集应该取得是b（假设b可能为空的情况）后面的东西。

那么问题来了，b后面的东西怎么来呢？
 
S->xAy,先看下A的产生式，
（因为永远是从S出发，因此当产生式出现B的时候一定是这样的流程）
然后代入A的产生式 ：S->xaBby
 
可以看到出现B的时候是这样的，所以这个时候就应该是把b忽视，直接看y，那么这个时候是不是很熟悉？没错就是跟上面求FOLLOW(A)的一样做法，也就是follow（A）∈follow（B）
 
这个时候可以总结一个规律： 
当b为#的时候，follow(B) 就应该看谁产生生它的那个非终结符的follow（），在这里就是因为A->xBy,因此看follow（A）

③正规推导

计算follow集
 
①设S为起始，{#}加入follow（S）
 
②要求follow（B），若A->aBb是一个产生式，则把first（B）的非空元素加入follow（B）中
 
③若B->#,则把follow（A）加入follow（B）中
 
解释：因为  若D->xAy,A->aBb, 则 D->xaBby,且b=#，则first（y）或者说是 follow（A），  ∈follow（B）
  
就是所求符号的右边如果等于# 则不停找上一级

前排提示：

做first集的时候，应该第一个找的是左部跟所求符合相同的产生式，然后再分别找这些产生式中右部第一个终结符，然后他们组成一个集合，就是结果。

做follow集的时候，应该第一个找的是右部存在所求符号的产生式**（区别：first找左，follow找右，first找的符号要跟所求符号完全一样，follow只要找左部存在所有符号的即可）**，然后再找该符号后面跟着的第一个终结符，如果后面没有符号（即为#），则继续follow（）这个产生式的左部，直到找到终结符为止。

做follow集的时候往往要不停往上面找上一级，如果有循环语句的话，不妨顺着从S开始往下找（这样也可以找到所求符号的上级），这样虽然繁杂，但是不会陷入死循环。

3、关于select集：

在求出first集和follow集后，求select集就方便多了。

例：select(X->Y)，先求first（Y），如果first（Y）存在#∈first（Y）的情况，则再求follow（X），最后求两者的并集即可即可。

例子：

默认规则：大写字母为非终结符，小写字母和字符（包括 '^' '( ' ',' 等三个符号）都是终结符。

S->a 
S->^
S->(T)
T->SN
N->,SN
N->#
 
 
first(S)=first(a)∪first（^）∪first（（T）） ={a,^,T}
first（T）=first（S）={a,^,T}
first（N）=first（,SN）∪first（#）={ ‘，’ #}
 
只有开始符号才有默认{#} ，其余符号的follow集不能通过first产生#，只能通过 ‘∪follow（S）‘ 产生
 
follow（S）={#}∪follow（N）={#}
follow（T）=first（）） ={  ） }
follow(N)=follow（T）={）}

在这里插入图片描述

Select(S->a) =first（a）= {a} 
Select(S->^) =first（^）={^} 
Select(S->(T)) =first（ （T）  ）={ ( } 
Select(T->SN) = first(S)={a,^,(} 
Select(N->,SN)=first( , ) ={ , }
Select(N->#) =follow(N) = { ) }


select技巧。
如select（N->,SN）  即求N->,SN  ，
看下图，判断右部 有否必否，有终必否，  如果确定是否的，则只计算first（左部）即可。