2020-3-7模拟赛题解

T1

做厌了乘法计算题的贝茜，自创了一种新的乘法运算法则。在这套法则里，
$A\times B$ 等于一个取自 A、一个取自 B 的所有数字对的乘积的和。比方说， $123\times45$ 等于
$1\times4 + 1\times5 + 2\times4 + 2\times5 + 3\times4 + 3\times5 = 54$。对于 2 个给定的数 A、B
( $1\leq A,B\leq 10^9$)，你的任务是，用新的乘法法则计算 A*B 的值。

我才不告诉你我高级班就做过了呢 $qwq$。。。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	long long a,b,z=0,n,m;
	cin>>a>>b;
	m=a;
	while(m!=0){
		n=b;
		while(n!=0){
			z=z+(m%10)*(n%10);
			n=n/10;
		}
		m=m/10;
	}
	cout<<z;
	return 0;
}

纯粹的模拟

T2

给定一个由 a-z 和*组成的字符串，其中*可以被替代成任何 a-z 中的字符。
询问将*替换后字典序最小的回文字符串，无解输出-1。

尺取好啊！

从 $2$ 边往中间扫。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T>inline void read(T &FF){
	T RR=1;FF=0;char CH=getchar();
	for(;!isdigit(CH);CH=getchar())if(CH=='-')RR=-1;
	for(;isdigit(CH);CH=getchar())FF=(FF<<1)+(FF<<3)+(CH^48);
	FF*=RR;
}
template<typename T>inline void write(T x){
	if(x<0)putchar('-'),x*=-1;
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+48);
}
template<typename T>inline void writen(T x){
	write(x);
	puts("");
}
string st;
void work(int l,int r){
	if(st[l]=='*'){
		if(st[r]=='*')st[l]=st[r]='a';
		else st[l]=st[r];
	}else{
		if(st[r]=='*')st[r]=st[l];
		else if(st[l]!=st[r]){
				puts("-1");
				exit(0);
			}
	}
}
int main(){
	cin>>st;
	int n=st.size();
	st=' '+st;
	int l=1,r=n;
	while(l<=r){
		work(l,r);
		l++;r--;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)cout<<st[i];
	return 0;
}

T3

有 6 种不同的硬币，现在已知：

1. 消耗任意 4 种硬币各一枚可以换一个礼品；
2. 消耗任意 5 种硬币各一枚可以换两个礼品；
3. 消耗任意 6 种硬币各一枚可以换四个礼品。

有 n 个人，告诉你每个人每种硬币的数量，问每个人最多可以换得到的礼品个数。

一眼贪心

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T>inline void read(T &FF){
	T RR=1;FF=0;char CH=getchar();
	for(;!isdigit(CH);CH=getchar())if(CH=='-')RR=-1;
	for(;isdigit(CH);CH=getchar())FF=(FF<<1)+(FF<<3)+(CH^48);
	FF*=RR;
}
template<typename T>inline void write(T x){
	if(x<0)putchar('-'),x*=-1;
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+48);
}
template<typename T>inline void writen(T x){
	write(x);
	puts("");
}
ll a[12];
int main(){
	int T;
	read(T);
	while(T--){
		for(int i=1;i<=6;i++)read(a[i]);
		sort(a+1,a+6+1);
		ll ans=(a[1]-a[0])*4+(a[2]-a[1])*2+(a[3]-a[2])*1;
		writen(ans);
	}
	return 0;
}

T4

贝茜听说了一个骇人听闻的消息：一场流星雨即将袭击整个农场，由于流星
体积过大，它们无法在撞击到地面前燃烧殆尽，届时将会对它撞到的一切东西
造成毁灭性的打击。很自然地，贝茜开始担心自己的安全问题。以 FJ 牧场中最
聪明的奶牛的名誉起誓，她一定要在被流星砸到前，到达一个安全的地方（也就
是说，一块不会被任何流星砸到的土地）。如果将牧场放入一个直角坐标系中，
贝茜现在的位置是原点，并且，贝茜不能踏上一块被流星砸过的土地。
根据预报，一共有 M 颗流星(1 <= M <= 50,000)会坠落在农场上，其中第 i 颗
流星会在时刻 T_i (0 <= T_i <= 1,000)砸在坐标为(X_i, Y_i)
(0 <= X_i <= 300；0 <= Y_i <= 300)的格子里。流星的力量会将它所在的格子
，以及周围 4 个相邻的格子都化为焦土，当然贝茜也无法再在这些格子上行走。
贝茜在时刻 0 开始行动，它只能在第一象限中，平行于坐标轴行动，每 1 个时刻中，
，她能移动到相邻的（一般是 4 个）
格子中的任意一个，当然目标格子要没有被烧焦才行。如果一个格子在时刻 t 被
流星撞击或烧焦，那么贝茜只能在 t 之前的时刻在这个格子里出现。
请你计算一下，贝茜最少需要多少时间才能到达一个安全的格子。

传统的搜索

应该没什么问题

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T>inline void read(T &FF){
	T RR=1;FF=0;char CH=getchar();
	for(;!isdigit(CH);CH=getchar())if(CH=='-')RR=-1;
	for(;isdigit(CH);CH=getchar())FF=(FF<<1)+(FF<<3)+(CH^48);
	FF*=RR;
}
template<typename T>inline void write(T x){
	if(x<0)putchar('-'),x*=-1;
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+48);
}
template<typename T>inline void writen(T x){
	write(x);
	puts("");
}
int n,a[1010][1010],h[1010][1010],xx;
int dx[4]={-1,1,0,0};
int dy[4]={0,0,-1,1};
void work(int x,int y,int t){
	a[x][y]=min(a[x][y],t);
	for(int i=0;i<4;i++){
		int tx=x+dx[i],ty=y+dy[i];
		if(tx>=0&&ty>=0)a[tx][ty]=min(a[tx][ty],t);
	}
}
queue<int>x;
queue<int>y;
queue<int>s;
int main(){
	memset(a,0x3f,sizeof(a));xx=a[0][0];
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x,y,t;
		read(x),read(y),read(t);
		work(x,y,t);
	}h[0][0]=1;
	x.push(0);
	y.push(0);
	s.push(0);
	while(x.size()){
		//cout<<x.front()<<" "<<y.front()<<" "<<s.front()<<endl;
		for(int i=0;i<4;i++){
			int tx=x.front()+dx[i],ty=y.front()+dy[i];
			if(tx>=0&&ty>=0&&s.front()+1<a[tx][ty]&&!h[tx][ty]){
				h[tx][ty]=1;
				if(a[tx][ty]==xx){
					//cout<<x.front()<<" "<<y.front()<<" "<<a[0][2]<<endl;
					cout<<s.front()+1;
					return 0;
				}
				x.push(tx);
				y.push(ty);
				s.push(s.front()+1);
			}
		}
		x.pop();
		y.pop();
		s.pop();
	}puts("-1");
	return 0;
}

T5

给你一个等边三角形，每条边长都是 x，每次操作可以缩小其中一条边的长度，并且三角形不
能退化成直线，询问最少多少次操作可以把这个三角形变成边长为 y 的等边三角形。

想了好久，终于想了出来。

刚开始没想出来倒着推，突然，我把整页的草稿纸反着看了一下，就有了灵感，真的是一道好题。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T>inline void read(T &FF){
    T RR=1;FF=0;char CH=getchar();
    for(;!isdigit(CH);CH=getchar())if(CH=='-')RR=-1;
    for(;isdigit(CH);CH=getchar())FF=(FF<<1)+(FF<<3)+(CH^48);
    FF*=RR;
}
template<typename T>inline void write(T x){
    if(x<0)putchar('-'),x*=-1;
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+48);
}
template<typename T>inline void writen(T x){
    write(x);
    puts("");
}
int main(){
    int x,a,b,c,s=0;
    read(x);
    read(a);
    b=c=a;
    while(a!=x||b!=x||c!=x){
        //cout<<a<<" "<<b<<" "<<c<<endl;
        if(a<=b&&a<=c)a=b+c-1;
        else if(b<=a&&b<=c)b=a+c-1;
            else if(c<=a&&c<=b)c=a+b-1;
        a=min(a,x);
        b=min(b,x);
        c=min(c,x);
        //cout<<a<<" "<<b<<" "<<c<<endl;
        s++;
    }cout<<s;
    return 0;
}

T6

FJ 打算好好修一下农场中某条凹凸不平的土路。按奶牛们的要求，修好后的
路面高度应当单调上升或单调下降，也就是说，高度上升与高度下降的路段不能
同时出现在修好的路中。
整条路被分成了 N 段，N 个整数 A_1, … , A_N (1 <= N <= 2,000)依次描述
了每一段路的高度(0 <= A_i <= 1,000,000,000)。FJ 希望找到一个恰好含 N 个
元素的不上升或不下降序列 B_1, … , B_N，作为修过的路中每个路段的高度。
由于将每一段路垫高或挖低一个单位的花费相同，修路的总支出可以表示为：
|A_1 - B_1| + |A_2 - B_2| + … + |A_N - B_N|
请你计算一下，FJ 在这项工程上的最小支出是多少。FJ 向你保证，这个支出
不会超过 2^31-1。

重点来了！！！敲黑板！！！

首先，我们需要一个性质。这个性质是最终的所有数都源自于原来的数列。

为什么？首先，我们证明一下。

我们从 $3$ 个数开始想，假设这 $3$ 个数是 $a,b,c$。

1. $a<b \And b<c \And a<c$

• 这种情况，比方说 7 8 9，之后，我们的方案是 7 8 9 是最优方案之一。

2. $a>b \And b>c \And a>c$

• 这种情况，比方说 7 6 5，之后，我们的方案是 7 6 5 是最优方案之一。

3. $a<b \And b>c \And a<c$

• 这种情况，比方说 1 9 7，之后，我们的方案是 1 7 9 是最优方案之一。

4. $a<b \And b>c \And a>c$

• 这种情况，比方说 8 9 7，之后，我们的方案是 9 9 7 是最优方案之一。

5. $a>b \And b<c \And a>c$

• 这种情况，比方说 7 5 9，之后，我们的方案是 5 5 9 是最优方案之一。

6. $a>b \And b<c \And a<c$

• 这种情况，比方说 7 5 6，之后，我们的方案是 7 5 5 是最优方案之一。

之后，我们考虑给数列加一个数 $d$。我们刚才已经证明了， $a,b,c$ 3个数，任意排列都是最优的。现在，我们来分类讨论。

为了方便，假设都是第 $1$ 种情况， $a < b < c$，最优排列是 $a,b,c$

• $d \leq a$

这种情况，显然，对不对。比如 $a,b,c$ 的最优排列是 $3,5,7,9$， $d=2$。我觉得不用解释了。

• $d\geq a \And d\leq b$

这种情况，显然，对不对。比如 $a,b,c$ 的最优排列是 $3,5,7,9$， $d=4$。我觉得不用解释了。

• $d\geq b \And d\leq c$

这种情况，显然，对不对。比如 $a,b,c$ 的最优排列是 $3,5,7,9$， $d=6$。我觉得不用解释了。

• $d\geq c$

这种情况，显然，对不对。比如 $a,b,c$ 的最优排列是 $3,5,7,9$， $d=10$。我觉得不用解释了。

竟然打了 $4$ 个显然，只不过确实显然。

然后，如果您就可以感性理解一下，我们继续加数，肯定依然是最优。

这样代码就很好写了。

大概这样：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T>inline void read(T &FF){
    T RR=1;FF=0;char CH=getchar();
    for(;!isdigit(CH);CH=getchar())if(CH=='-')RR=-1;
    for(;isdigit(CH);CH=getchar())FF=(FF<<1)+(FF<<3)+(CH^48);
    FF*=RR;
}
template<typename T>inline void write(T x){
    if(x<0)putchar('-'),x*=-1;
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+48);
}
template<typename T>inline void writen(T x){
    write(x);
    puts("");
}
const int MAXN=2e3+10;
int n,a[MAXN],b[MAXN],ans,f[MAXN][MAXN];
bool cmp1(int x,int y){
    return x>y;
}
bool cmp2(int x,int y){
    return x<y;
}
int getans(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            f[i][j]=INT_MAX;
            for(int k=1;k<=j;k++)
				f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][k]+abs(b[i]-a[j]));
        }
    }
    int ans=INT_MAX;
    for(int i=1;i<=n;i++)ans=min(ans,f[n][i]);
    return ans;
}
int main(){
    read(n);
    for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]),b[i]=a[i];
    sort(a+1,a+n+1,cmp1);
    ans=getans();
    sort(a+1,a+n+1,cmp2);
    ans=min(ans,getans());
    cout<<ans;
    return 0;
}

您会发现这个算法复杂度是 $O(n^3)$ 的，所以，还需要优化。我们发现找最小值，会有很多的重复计算

所以，我们可以把这个算法，优化成 $O(n^2)$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T>inline void read(T &FF){
    T RR=1;FF=0;char CH=getchar();
    for(;!isdigit(CH);CH=getchar())if(CH=='-')RR=-1;
    for(;isdigit(CH);CH=getchar())FF=(FF<<1)+(FF<<3)+(CH^48);
    FF*=RR;
}
template<typename T>inline void write(T x){
    if(x<0)putchar('-'),x*=-1;
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+48);
}
template<typename T>inline void writen(T x){
    write(x);
    puts("");
}
const int MAXN=2e3+10;
int n,a[MAXN],b[MAXN],ans,f[MAXN][MAXN];
bool cmp1(int x,int y){
    return x>y;
}
bool cmp2(int x,int y){
    return x<y;
}
int getans(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int ans=INT_MAX;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            ans=min(ans,f[i-1][j]);
            f[i][j]=ans+abs(b[i]-a[j]);
        }
    }
    int ans=INT_MAX;
    for(int i=1;i<=n;i++)ans=min(ans,f[n][i]);
    return ans;
}
int main(){
    read(n);
    for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]),b[i]=a[i];
    sort(a+1,a+n+1,cmp1);
    ans=getans();
    sort(a+1,a+n+1,cmp2);
    ans=min(ans,getans());
    cout<<ans;
    return 0;
}

总结

这场比赛，我终于 $\color{skyblue}{AK}$ 了！

只不过，分数跟我的预想差距很大。倒数 $2$ 题，可谓是灵感题吧。（一道是我吃饭的时候想到的，一道是我睡觉的时候想到的）

然后很多人都 $A$ 了，看来还是我太弱了吧。