CSP 2020模拟赛1题解&&总结

先总结一下自己的得分情况：

T2想不出来很不应该，把式子写下来，交换两个$\sum$然后开桶分块就做完了。

Solution

T1

首先，如果$m＜n-1$，那么显然构造不出连通图，输出$-1$。

否则，我们这么构造这个图: 从$1$到$2$，从$2$到$3$……从$n-1$到$n$，先连这$n-1$条边，然后剩下的边在保证无重边自环的情况下乱连就可以了。

即，我们最终输出的是$1,2,\dots \dots n$。

时间复杂度$O(\sum n)$。期望得分$100$分，实际得分$100$分。

T2

首先，我们通过线性筛，筛出$1-10^6$的质数。

然后，答案的式子就是${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{p^k}\lfloor \frac{a_i}{p^k}\rfloor$, $p$为一个质数。

我们交换两个$\sum$，得到${\sum }_{p^k}{\sum }_{i=1}^n\lfloor \frac{a_i}{p^k}\rfloor$。

相当于，我们每次枚举了一个数，要查询所有数除以它向下取整的值之和。我们可以开桶。假设$p^k=x$，有$tx-(t+1)x-1$这些数除以它向下取整的值相等。

所以，我们直接枚举$t$，然后处理出这一段的那个答案乘上这一段的大小再累加即可。

时间复杂度为调和级别，即$O(Inmm+n)$，这里$m$为所有$a_i$的最大值。期望得分$70$分，实际得分$0$分($MLE$)

T3

首先可以一眼看出这是一个$dp$题。状态设计与状态转移也十分显然。

状态设计: $d{p}_{i,j}$表示看到第$i$个数，目前有$j$个$k$使得$b_k>b_{k+1}$。
状态转移: ①之前的那个数比这个数大，即$d{p}_{i,j}=d{p}_{k,j-1}+1(a_k＞a_i)$
②之前的那个数不大于这个数，即$d{p}_{i,j}=d{p}_{k,j}+1(a_k\le a_i)$。

时间复杂度$O(n^{2}m)$，无法通过本题。

可以发现，我们的状态很难再优化，那我们的转移呢？可以发现，这是一个权值线段树的套路。我们可以将$a$数组离散化，方便权值线段树的维护。

时间复杂度$O(nklogn)$，可以通过本题。

T4

出题人给的大力分讨是一种不错的解法。这里介绍的是我自己的树剖套线段树的解法。

每次，我们先做这些操作：
①把所有节点的权值设为$0$；
②把$x$到$y$这条路径上所有节点的点权设为$1$；
③把在$a$子树中的所有节点的点权设为$0$；
④把不在$b$子树中所有节点的点权设为$0$。
然后，答案就是整棵树中所有节点的权值之和。显然，这四个操作都相当于区间摊，可以用线段树来维护；但是这是在一棵可爱的树上，所以我们得采用树剖套线段树。

时间复杂度$O(n+qlo{g}^{2}n)$。

这里说一下为什么这种做法是正确的。我们的①，相当于清空了之前的操作；经历了②③④操作的洗礼，所有权值为$1$的节点都是满足要求的节点，求和就是这种节点的数量。

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黄鹤楼(OI版) [现代]ducati
昔人已乘AC去，此地空余大树剖。
深搜一去不复返，MLE千载空悠悠。
晴川历历线段树，不开$4$倍见祖宗。
日暮蓝勾何处是？爆0挂分使人愁。