模拟赛3 题解

爆灵力……

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CF995E Number Clicker

很有意思的题。
算法一：双向广搜
据说状态数最多 \(10^7\)，可过。
算法二：随机化
首先介绍一个前置理论：生日攻击。
这个理论最通俗的描述是说，\(23\) 个人中有两个人生日相同的概率超过 \(50\%\)（假设一年有 \(365\) 天），\(70\) 个人时概率为 \(99.9\%\)，而在人数达到 \(200\) 时，概率已经非常逼近 \(100\%\)（准确说是 \(1-2\times 10^{-29}\)）。
这个理论常用于哈希碰撞攻击。形式化地，对于一个值域范围为 \(n\) 的整值函数，设其定义域范围为 \(k\) 时出现相同值的概率为 \(p\)，则有

\[p=1-\overline{p}=1-\frac{n^{\underline{k}}}{n^k} \]

其中 \(n^{\underline{k}}\) 为 \(n\) 的 \(k\) 次下降幂。
解出这个方程可得：当 \(k>\sqrt{\frac{\pi}{2}n}\) 时，\(p>50\%\)（具体做法康这里）。
所以我们只需为 \(u,v\) 分别随机生成 \(\sqrt{p}\) 条长度为 \(100\) 的操作路径即可求解，复杂度 \(O(\sqrt{p}\log p)\)。
算法三：这叫啥啊我也不知道
期望更优的方法，很神奇。
考虑为 \(u,v\) 分别生成一个到 \(0\) 的操作路径，具体方法是随机取一个整数 \(x\in [1,p-1]\)，记 \(a\equiv ux\pmod p,b=x\)，对 \((a,b)\) 使用更损相减术迭代至 \(b=0\)。考虑这么做的意义，由于 \(u\equiv\dfrac{a}{b}\pmod p\)，那么减一操作相当于 \(\dfrac{a}{b}\to \dfrac{a-b}{b}\pmod p\)，求逆操作相当于 \(\dfrac{a}{b}\to\dfrac{b}{a}\pmod p\) 太神奇了！
对 \(v\) 同理，由于操作可逆，所以只需将 \(v\) 的操作中所有的减换成加即可。
当然在实际实现中我们得先用辗转相除计算路径长度，如果小于 \(100\) 再用更损相减。
官方题解说这个做法“It happens to take a few steps in most cases, but we have no proof.”
（代码跑了 0ms，我惊了

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
mt19937 rng(1919810);

const int N=105;
int u,v,p,s1[N],s2[N];

int gcd(int a,int b) {return b?gcd(b,a%b)+a/b+1:0;}

int solve(int n,int s[])
{
	int a,b,cnt=0;
	do b=rng()%(p-1)+1,a=1LL*b*n%p;
	while(gcd(a,b)>100);
	while(b)
		if(a<b) s[++cnt]=3,swap(a,b);
		else s[++cnt]=2,a-=b;
	return cnt;
}

int main()
{
	scanf("%d%d%d",&u,&v,&p);
	int len1=solve(u,s1),len2=solve(v,s2);
	printf("%d\n",len1+len2);
	for(int i=1;i<=len1;++i) printf("%d ",s1[i]);
	for(int i=len2;i;--i) printf("%d ",s2[i]==2?1:3);
	return 0;
}

CF300D Painting Square

这道题 CF 上 \(k<1000\)，所以可以不用 NTT 水过，但毒瘤把数据加强到 \(k<50000\) 了，只能用 NTT 了 555……
还没学 NTT，先把式子放到这吧（早晚会学的，口亨~）。
先考虑一个显然的 DP，记 \(f_{i,j}\) 表示边长为 \(2^i+1\) 的正方形切 \(j\) 刀的方案数，有

\[f_{i,j}=\sum_{a+b+c+d=j-1}f_{i-1,a}f_{i-1,b}f_{i-1,c}f_{i-1,d} \]

设 \(g_{i,j}=\sum\limits_{a+b=j}f_{i,a}f_{i,b}\)，则 \(f_{i,j}=\sum\limits_{a+b=j-1}g_{i-1,a}g_{i-1,b}\)。
直接算 \(O(k^2\log n)\)，NTT 优化后 \(O(k\log k\log n)\)。

CF724E Goods transportation

部分分有一个显然的网络流，由于 \(n<10000\) 过不了。