扩展欧几里得算法+推论

什么是扩展欧几里得？

扩展欧几里得算法是建立在欧几里得算法(gcd)之上。

首先，我们知道有\(a*x+b*y=gcd(a,b)\)

我们怎么求这个\(x,y\)呢？

这时候我们就得使用exgcd算法，我们来推导一下吧！

\(a*x+b*y=gcd(a,b)\)
\(a*x+b*y=gcd(b,a\% b)\)
\(a*x+b*y=b*x'+(a- \left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor*b)*y'\)
\(a*x+b*y= a*y'+b*(x'-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor*y')\)

因此，根据系数对应，我们得到了

\(x=y'\),\(y=x'-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor*y'\)

那这个式子我们显然可以在递归里面顺带算出来嘛。

再想一想，我们gcd的递归出口为\(b=0\)，即\(a*x=gcd(a,b)\),所以说我们的\(x,y\)的递归出口也为\(x=1,y=0\)

代码大概长这样qwq：

long long exgcd(long long A,long long B,long long &x,long long &y)
{
    if(B==0) 
    {
        x=1,y=0;
        return A;
    }
    long long t=exgcd(B,A%B,x,y),tx=x;
    x=y;
    y=tx-(A/B)*y;
    return t;
}

酱紫，我们就求出了\(x,y\)的一组解\(x_0,y_0\)

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进一步推导

如果我们要求x的最小正整数解，那不免要求x的通项公式。

首先我们的推导建立在已经求出了一组\((x_0,y_0)\)使得\(a\times x+b\times y=gcd(a,b)\)

我们要求的\(x\)的通项公式是建立在\(x_0\)之上的，我们假设\(x=x_0+p\)，\(y=y_0-q\)

现在问题就变为了如何求这个\(p\)。

原式变为：
\[a(x_0+p)+b(y_0-q)=gcd(a,b)\]

展开得：
\[a*x_0+a*p+b*y_0-q*b=gcd(a,b)\]

与原式\(a*x_0+b*y_0=gcd(a,b)\)相减得
\[ap=bq\]

\[p=\frac{b*q}{a}\]

我们设\(d=gcd(a,b)\)，有\(a=a'*d\),\(b=b'*d\)

将上一个式子上下同时除以\(d\)得
\[p=\frac{b'*q}{a'}\]

因为\(p\)为正整数，因此我们的\(q\)至少等于\(a'\)才能使得\(p\)的取值最小
\[p=b*\frac{a'}{a}=b*\frac{1}{d}=b*\frac{1}{gcd(a,b)}\]

解毕，我们得到了\(x\)的通项公式\(x=x_0+k*\frac{b}{gcd(a,b)}\)

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完结撒花(*´ﾟ∀ﾟ｀)ﾉ