扩展欧几里得算法——exgcd

扩展欧几里德算法是用来在已知 $a,b$求解一组 $x,y$，使它们满足贝祖（裴蜀）等式： $ax+by = gcd(a, b) =d$

关于贝祖等式

试着来搞一下

$ax+by=gcd(a,b)$

先考虑一下特殊情况，如果 $b=0$，那么 $gcd(a,b)=a$，显然存在一组解 $x=1,y=0$

设当前的式子为 $ax_1+by_1=gcd(a,b)$，肯定存在式子 $bx_2+(a$% $b)y_2=gcd(b,a$% $b)$

根据欧几里得算法， $gcd(a,b)=gcd(b,a$% $b)$

$\therefore ax_1+by_1=bx_2+(a$% $b)y_2$

$\because a$% $b=a-a/b*b$（这里的除是指整除）

$\therefore ax_1+by_1=bx_2+(a-a/b*b)y_2$
    $ax_1+by_1=bx_2+ay_2-a/b*b*y_2$
    $ax_1+by_1=ay_2+b(x_2-a/b*y_2)$

$\therefore x_1=y_2,y1=x_2-a/b*y2$

于是就可以愉快的递推下去了

代码贼短：

int exgcd(int a,int b,long long &x,long long &y)
{
    if(b==0)return x=1,y=0,a;
    int d=exgcd(b,a%b,y,x);
    return y-=a/b*x,d;
}

顺便普及一下逗号运算符,：在c++中，(a,b,c)==c。也就是说，一堆表达式用逗号连接起来，他们的值就是最后一个表达式的值（巧妙的使用可以使得代码复杂度降低）

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当然exgcd不可能只有这么点用途呀，它还可以用来求逆元，并且比用费马小定理求更方便，比如求 $a$在模 $p$意义下的逆元，如果用费马小定理求的话，还要保证 $p$是个质数，但是用exgcd就不用了。

怎么求呢？

设 $x$为 $a$在模 $p$意义下的逆元，那么满足式子：
$ax \equiv 1$ $(mod$ $m)$

那么有：

$ax+my=1$

然后用exgcd搞出 $a$即可（以及这就是为什么 a和m一定要互质 才能使得 $a$在模 $m$意义下有逆元）

以及逆元的代码在此：

long long inv(long long a,long long m)
{
    long long x,y;
    long long d=exgcd(a,m,x,y);
    return d==1?(x+m)%n:-1;//不互质就没有逆元
}