设(X,Y)是二维连续型随机变量,由于对任意
x,y,P(X=x)=0,P(Y=y)=0,所以不能直接用条件概率公式得到条件分布。
设X和Y的联合概率密度为
f(x,y),边缘概率密度为
fX(x),fY(y),
则对一切使
fX(x)>0的x,定义已知X=x下,Y的条件密度函数为
fY∣X(y∣x)=fX(x)f(x,y)
同样,对一切使
fY(y)>0的y,定义已知Y=y下,X的条件密度函数为
fX∣Y(x∣y)=fY(y)f(x,y)
将上式左边乘以
dx,右边乘以
dydxdy既得
fX∣Ydx=fY(y)dyf(x,y)dxdy≈p{y≤Y≤y+dy}P{x≤X<x+dx,y≤Y≤y+dy}=P{x≤X≤x+dx∣y≤Y<y+dy}