机器学习|n元正态分布概率密度及性质|10mins入门|概统学习笔记（十一）

n元正态分布概率密度

• 定义

设 $X'=(X_1,X_2,...,X_n)$是一个n维随机向量，若它的概率密度为
$f(x_1,x_2,...,x_n)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}|C|^{1/2}}exp\{-\frac{1}{2}(X-\mu)’C^{-1}(X-\mu)\}$
则称X服从n元正态分布，X和 $\mu$是n维列向量， $X'$表示X的转置。

其中C是 $(X_1,X_2,...,X_n)$的协方差矩阵, $|C|$是它的行列式， $C^{-1}$表示C的逆矩阵。

• 性质：

1. 若 $X=(X_1,X_2,...,X_n)$服从n元正态分布，则对一切不全为0的实数 $a_1，a_2,...,a_n$, $a_1X_1+a_2X_2+...+a_nX_n$均服从正态分布。

2. 若 $X=(X_1,X_2,...,X_n)$服从n元正态分布， $Y_1,Y_2,...,Y_k$是 $X_j(j=1,2,...,n)$的线性函数，则 $(Y_1,Y_2,...,Y_k)$也服从多元正态分布

   这一性质称为正态变量的线性变换不变性

3. 若 $X=(X_1,X_2,...,X_n)$服从n元正态分布，则” $X_1,X_2,...,X_n$相互独立“等价于" $”X_1,X_2,...,X_n$“两两不相关