10. 离散型随机变量

离散型随机变量

0-1 分布的定义

若 $X$ 的概率分布律为

$\begin{array}{c|cc} X & 0& 1 \\ \hline P & 1-p & p \end{array}$

其中 $0 < p < 1$，就称 $X$ 服从参数为 $p$的 0-1 分布（或两点分布），记为 $X\sim 0-1(p)$ 或 $X \sim B(1,p).$

其分布律还可以写为： $P(X=k)=p^{k}(1-p)^{1-k},k=0,1.$

(X服从退化分布：若 $P(X=c)=1.$)

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0-1 分布的应用：

对于一个随机实验，若它的样本空间只包含两个元素，即 $S=\{e_1,e_2\},$我们总能在 $S$ 上定义一个服从 (0-1) 分布的随机变量

$X= \begin{cases} 0, 当 e=e_1; \\ 1, 当 e=e_2, \end{cases}$

来描述这个随机实验的结果。

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一个随机实验，设 $A$ 是随机事件，且 $P(A)=p(0<p<1).$ 若仅考虑事件 $A$ 发生与否，就可以定义一个服从参数为 $p$ 的 0-1 分布的随机变量：

$X= \begin{cases} 1, 若 A 发生\\ 0, 若 A 不发生（即\overline{A}发生）， \end{cases}$

来描述这个随机实验的结果。

只有两个可能结果的试验，称为贝努利（Bernoulli）试验，故两点分布有时也称为贝努利分布。

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例 1： 投掷一颗均匀的骰子，考虑 6 点是否出现，用 $Y$ 表示该实验结果，求 $Y$ 的概率分布律。

解： 由题意知，令

$Y= \begin{cases} 1,抛出的点数为6；\\ 0,抛出的点数不为6. \end{cases}$

则 $Y$ 的分布律为

$\begin{array}{c|cc} Y &0&1 \\ \hline P&5/6&1/6 \end{array}$

或写为 $P(X=k)=(\frac{1}{6})^{k}(\frac{5}{6})^{1-k},k=0,1.$即 $Y\sim 0-1(\frac{1}{6})$

事实上 $Y$ 也可以看做是掷一次骰子，点数为 6 的次数。

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$n$ 重贝努利试验： 设试验 $E$ 只有两个可能的结果： $A$ 或 $\overline{A}$，且 $P(A)=p,0<p<1$.将 $E$ 独立地重复地进行 $n$ 次，则称这一串重复的独立试验为 $n$ 重贝努利试验

$n$ 重贝努利试验 试验结果的次数统计规律：

设 $A$ 为结果, $X$ 表示 $n$ 重贝努利试验 中结果 $A$ 发生的次数

则 $X$ 的可能取值为 $0,1,...,n$，且 $P\{X=k\}=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$

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二项分布的定义

若 $X$ 的概率分布律为

$P\{X=k\}=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k},k=0,1,...,n$

其中 $n\geq 1,0<p<1$，就称 $X$ 服从参数为 $n,p$ 的二项分布（Binomial），记为 $X\sim B(n,p)$

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泊松分布的定义

若 $X$ 的概率分布律为

$P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!},k=0,1,2,...,$
其中 $\lambda >0$，就称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布（Poisson），记为 $X\sim \pi(\lambda) 或 X\sim P(\lambda)$.

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二项分布与泊松分布有以下近似公式：

当 $n>10, p<0.1$ 时，

$C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\approx \frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}，其中 \lambda =np.$

即当 $n>10,p<0.1$ 时，二项分布 $B(n,p)$ 可以用泊松分布 $\pi(np)$ 来近似。

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例 2： 某地区一个月内每 200 个成年人中有 1 个会患上某种疾病，设各人是否患病相互独立。若该地区一社区有 1000 个成年人，求某月内该社区至少有 3 人患病的概率。

解： 设该社区 1000 人种有 $X$ 个人患病，则 $X\sim B(1000,p)$，其中 $p=1/200$.

$P(X\geq 3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)$

$=1-(\frac{199}{200})^{1000} - C_{1000}^{1}(\frac{1}{200})^{1}(\frac{199}{200})^{999} - C_{1000}^{2}(\frac{1}{200})^{2}(\frac{199}{200})^{998}=0.8760$

利用泊松分布进行近似计算，取 $\lambda=1000\times \frac{1}{200}=5,$

$P(X\geq 3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)$

$\approx 1-\frac{e^{-5}}{0!}-\frac{5e^{-5}}{1!}-\frac{5^{2}e^{-5}}{2!}=0.8753.$

这里由二项分布计算的结果，与泊松分布近似计算的结果非常相近。

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几何分布的定义

若 $X$ 的概率分布律为

$P(X=k)=p(1-p)^{k-1},k=1,2,3,...,$

其中 $0<p<1$，称 $X$ 服从参数为 $p$ 的几何分布（Geometric），记为 $X\sim Geom(p).$