HDU 1465 不容易系列之一（全错排公式或容斥原理）

不容易系列之一

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Problem Description

大家常常感慨，要做好一件事情真的不容易，确实，失败比成功容易多了！
做好“一件”事情尚且不易，若想永远成功而总从不失败，那更是难上加难了，就像花钱总是比挣钱容易的道理一样。
话虽这样说，我还是要告诉大家，要想失败到一定程度也是不容易的。比如，我高中的时候，就有一个神奇的女生，在英语考试的时候，竟然把40个单项选择题全部做错了！大家都学过概率论，应该知道出现这种情况的概率，所以至今我都觉得这是一件神奇的事情。如果套用一句经典的评语，我们可以这样总结：一个人做错一道选择题并不难，难的是全部做错，一个不对。

不幸的是，这种小概率事件又发生了，而且就在我们身边：
事情是这样的——HDU有个网名叫做8006的男性同学，结交网友无数，最近该同学玩起了浪漫，同时给n个网友每人写了一封信，这都没什么，要命的是，他竟然把所有的信都装错了信封！注意了，是全部装错哟！

现在的问题是：请大家帮可怜的8006同学计算一下，一共有多少种可能的错误方式呢？

 

Input

输入数据包含多个多个测试实例，每个测试实例占用一行，每行包含一个正整数n（1<n<=20），n表示8006的网友的人数。

 

Output

对于每行输入请输出可能的错误方式的数量，每个实例的输出占用一行。

 

Sample Input

2

3

 

Sample Output

1

2

思路来源： 点击打开链接

全错排是有自己的一个公式的，叫全错排公式（跟容斥没关系）

要装第i封信的时候，先把前i-1个信全装错信封，然后随便选其中一个与第i封信交换，有i-1种选法

那么dp[i] = (i-1) * dp[i-1]

但是还有一种情况

要装第i封信的时候，先从i-1封信中任选i-2个信把他们全装错信封，然后把剩下的那个信与第i个交换，从i-1封信中任选i-2个信有i-1种选法

那么dp[i] = (i-1) * dp[i-2]

两个式子联合起来，就是那么dp[i] = (i-1) * (dp[i-1] + dp[i-2])，这就是全错排公式，递推，递归都可以做

#include<stdio.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll dp[25];
void Init()
{
	dp[1]=0;
	dp[2]=1;
	for(int i=3;i<25;i++)
		dp[i]=(i-1)*(dp[i-1]+dp[i-2]);
	return ;
}
int main()
{
	Init();
	int n;
	while(~scanf("%d",&n))
	{
		printf("%lld\n",dp[n]);
	}
	return 0;
}

那么这题容斥怎么做呢？

首先，所有装信的总数是n!

（在n中任选一个信封放进一封信，然后在剩下的n-1中任选一个信封放进一封信，以此类推，所以是n*(n-1)*(n-2)... = n!）

 假设

A1表示1封信装对信封，数量是(n-1)! （只有n-1个位置可以乱放）

A2表示2封信装对信封，数量是(n-2)! （只有n-2个位置可以乱放）

...

An表示n封信装对信封，数量是1 

那么这题的答案就是

n! - C(n, 1)*|A1| + C(n, 2)*|A2| - C(n, 3)*|A3| + ... + (-1)^n * C(n, n)*|A4|

把C(n, m)用

代入式子

化简

n! - n! / 1! + n! / 2! - n! / 3! + ... + (-1)^n * n! / n!

提取n!

n!(1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)^n * 1/n!)

#include<cstdio>
typedef long long LL;
int n, flag;
LL fac[25];
LL ans;
void init(){
    fac[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= 20; i ++) fac[i] = fac[i-1] * i;    
}
int main(){
    init();
    while(~scanf("%d", &n)){
        ans = fac[n];
        flag = -1;//容斥的符号变化
        for(int i = 1; i <= n; i ++){
            ans += flag * fac[n] / fac[i];
            flag = -flag;  
        }
        printf("%I64d\n", ans);
    }
}