空间正交分解

空间正交分解

空间的直和分解只保证向量分解的唯一性，不保证分解后的向量互相垂直，垂直能简化问题，因为内积为0，所以必须研究子空间正交分解。

平面内每条直线是子空间，两直线垂直时，是平面的正交分解。三维空间中，平面和直线垂直时是正交分解。几何上是如何定义直线垂直平面的？直线垂直于平面内任意直线，据此定义子空间垂直。

定义 子空间正交 两个子空间内各取任一向量，它们互相垂直，记为 $S_1 \bot S_2$ 。

例如四维空间， 两个子空间分别为 $S_1 = ((1,0,0,0),(1,1,0,0))$ ， $S_2 = ((0,0,1,1),(0,0,2,1))$ 。 $S_1$ 空间内任意向量 $\mathbf{v_1} = (\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2,0,0)$ ， $S_2$ 空间内任意向量 $\mathbf{v_2} = (0,0,\beta_1+2\beta_2,\beta_1+\beta_2)$ ，两个向量内积为0，故这两个子空间正交。

重要性质 子空间正交是直和，只在原点相交。

证：令向量 $\mathbf{v}$ 同时属于两个子空间， 因为两空间正交，所以向量 $\mathbf{v}$ 内积为0， 则向量 $\mathbf{v}$ 为 $\mathbf{0}$ 向量。

给定两个子空间，如何判断它们正交？几何上，直线垂直于平面的判断定理是，直线垂直于平面内两个不共线的直线。平面内两个不共线的直线，就是平面的生成向量组，也是基！

重要性质 两个子空间的生成向量组中任意两个向量互相垂直时，子空间正交，反之亦然。

证：假设两个子空间的生成向量组分别为 $V_1 = (\mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{v_n})$ 和 $V_2 = (\mathbf{u_{1}},\cdots,\mathbf{u_m})$ ， $m,n$ 为任意自然数。子空间 $V_1$ 的任意向量为其线性组合， $\mathbf{v} = \alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{v_n}$ ，子空间 $V_2$ 的任意向量为其线性组合， $\mathbf{u} = \beta_1\mathbf{u_1}+\cdots+\beta_m\mathbf{u_m}$ ，内积为

$(\mathbf{v},\mathbf{u}) = (\alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{v_n}, \beta_1\mathbf{u_1}+\cdots+\beta_m\mathbf{u_m}) \\ = \sum_{ij}(\alpha_i\beta_j(\mathbf{v_i},\mathbf{u_j}))$
当任意 $(\mathbf{v_i},\mathbf{u_j})＝0$ 时，上式为0，说明任意向量垂直，子空间正交。

重要性质 两个子空间正交时，它们的基向量互相垂直，反之亦然。