动态规划（详解矩阵连乘 案例+Java代码实现）

动态规划

History does not occur again

算法总体思想

• 与分治算法类似
• 子问题往往不是互相独立的, （分治会重复计算）
• 保存已解决的子问题的答案，需要时找出即可（空间换时间）

基本步骤

• 找出最优解的性质并刻划其结构特征
• 递归地定义最优值
• 以自底向上的方式计算出最优值（递推）
• 根据计算最优值时得到的信息构造最优解

矩阵连乘问题

问题描述

• 给定n个矩阵{A₁, A₂,…, A_n}, 其中A_i 与 A_i+1 是可乘的, i = 1, 2, …, n-1
• 如何确定连乘积的计算次序，使得依次次序计算矩阵连乘积所需要的数乘次数最少

分析

• 矩阵乘法满足结合律
  ->矩阵乘法可以有不同的计算次序

• 矩阵连乘的计算次序可以用加括号的方式来确定
  ->若矩阵连乘已完全加括号，则其计算次序完全确定

• 完全加括号的矩阵连乘可递归定义为：

  1. 单个矩阵是完全加括号的；
  2. 矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加
     括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即 A=(BC)。

例，有四个矩阵A,B,C,D，它们的维数分别是： A=50×10，B=10×40, C=40×30, D=30×5
连乘积ABCD共有五种完全加括号的方式

(A((BC)D)) 16000      (A(B(CD))) 10500
((AB)(CD)) 36000      (((AB)C)D) 87500
((A(BC))D) 34500

解决方法

• 穷举法：列举出所有可能的计算次序，并计算出每一种计算次序相应需要的数乘次数，从中找到一种数乘次数最少的计算次序。

  • 复杂性分析： 用p(n)表示n个矩阵链乘的穷举法计算成本，如果将n个矩阵从第k和k+1出隔开，对两个子序列再分别加扩号，则可以得到下面递归式：

  

  很明显，指数级增长，此方法不太可行

• 动态规划

  • 将矩阵连乘积A_iA_i+1…A_j简记为A[i:j] ，这里i≤j。考察计算A[i:j]的最优计算次序。设这个计算次序在矩阵A_k和 A_k+1之间将矩阵链断开，i≤k<j，则其相应完全加括号方式为(A_iA_i+1…A_k)(A_k+1A_k+2…A_j)
    -> A[i:j]的计算量：A[i:k]的计算量加上A[k+1:j]的计算量，再加上A[i:k]和A[k+1:j]相乘的计算量

具体步骤

• 分析最优解的结构

  • 特征：计算A[i:j]的最优次序所包含的计算矩阵子链A[i:k]和A[k+1:j]的次序也是最优的

  

• 建立递归关系

  • 设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n]

  

  k为断开位置

  m[i][j]实际是子问题最优解的解值，保存下来避免重复计算

  • 在递归计算时，许多子问题被重复计算多次。这也是该问题可用动态规划算法求解的又一显著特征

• 计算最优值

  • 根据递归公式，对角线的值为0。其他值需要根据于断开位置k的值来得到，k $\in$ [i,j)，我们要遍历所有k，就要访问所求值的所有同一行左边的值和同一列下方的值。因此，在代码中我们可以使用自底向上、从左到右的计算顺序来依次填充，最终得到右上角的值。

• 构造最优解

  • 前面我们已经讲数据记录在了数组中，直接查表即可构造最优解

案例

• 求矩阵链A₁A₂A₃A₄的最优运算次序。其中矩阵A_i的大小为p_i-1×p_i。其中P(0) = 5，P(1) = 7，P(2) = 4，P(3) = 3，P(4) = 5

Java代码实现

package MatrixChain;

public class Array {
	
	/**
	 * 求解最优值
	 * @param p: 矩阵维数信息数组
	 * @param m: 存放最优值数组, 上三角形式
	 * @param s: 存放分割位置下标的数组
	 * @return 返回最优值
	 **/
	public static int matrixChain(int[] p, int[][] m, int[][] s) {
		int n = p.length - 1;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			// 本身为0
			m[i][i] = 0;  // 初始化二维数组
		for (int r = 2; r <= n; r++) {
			for (int i = 1; i <= n - r + 1; i++) { 
				int j = i + r - 1;
				// 先以i进行划分
				m[i][j] = m[i + 1][j] + p[i - 1] * p[i] * p[j];  // 求出Ai到Aj的连乘
				s[i][j] = i;  // 记录划分位置
				for (int k = i + 1; k < j; k++) {
					// 寻找是否有可优化的分割点
					int t = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];  // 公式
					if (t < m[i][j]) {
						m[i][j] = t;
						s[i][j] = k;
					}
				}
			}
		}
		return m[1][n];
	}
	
	/**
	 * 输出 A[i:j] 的最优计算次序
	 * @param i、j: 连乘矩阵下标
	 * @param s: 存放分割位置下标的数组
	 **/
	public static void traceback(int i, int j, int[][] s) {
		// 输出A[i:j] 的最优计算次序
		if (i == j) {
			// 递归出口
			System.out.print("A"+i);
			return;
		} else {
			System.out.print("(");
			// 递归输出左边
			traceback(i, s[i][j], s);
			// 递归输出右边
			traceback(s[i][j] + 1, j, s);
			System.out.print(")");
		}
	}
	
	public static void main(String[] args) {
		int[] p = new int[]{5, 7, 4, 3, 5};
		int[][] m = new int[p.length][p.length];
		int[][] s = new int[p.length][p.length];
		System.out.println("最优值为： "+matrixChain(p, m, s));
		traceback(1, p.length-1, s);
	}
}

最优值为： 264
((A1(A2A3))A4)