Day11（数学）

重定义矩乘

线性基板子

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
long long bs[64];
int ans=0;
struct data{
    long long num;
    int mag;
}a[10004];
inline bool operator < (const data &x,const data &y){
    return x.mag>y.mag;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld%d",&a[i].num,&a[i].mag);
    sort(a+1,a+n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=62;j>=0;j--){
            if(a[i].num>>j){
                if(bs[j]) a[i].num^=bs[j];
                else {ans+=a[i].mag;bs[j]=a[i].num;break;}
            }
        }
    }
    cout<<ans;
}

BZOJ2115

线性基

转https://www.cnblogs.com/ljh2000-jump/p/5869991.html

正解：线性基

解题报告：

　　这道题要求从1到n的最大xor和路径，存在重边，允许经过重复点、重复边。那么在图上作图尝试之后就会发现，路径一定是由许多的环和一条从1到n的路径组成。容易发现，来回走是没有任何意义的，因为来回走意味着抵消。考虑这道题求得是路径xor和最大，所以必然我们要想办法处理环的情况。我的做法是任意地先找出一条从1到n的路径，把这条路径上的xor和作为ans初值（先不管为什么可行），然后我们的任务就变成了求若干个环与这个ans初值所能组合成的xor最大值。显然，我们需要预处理出图上所有的环，并处理出所有环的环上xor值，这当然是dfs寻找，到n的路径的时候顺便求一下就可以了。

　　当我们得到了若干个环的xor值之后，因为是要求xor最大值，我们就可以构出这所有xor值的线性基。构出之后，再用ans在线性基上取max就可以了。

　　现在我们来讨论上述做法的可行性。

　　第一种情况：我们对最终答案产生贡献的某个环离1到n的主路径很远，这样的话，因为至少可以保证1可以到达这个环，那么我们可以走到这个环之后绕环一周之后原路返回，这样从1走到环的路上这一段被重复经过所以无效，但是环上的xor值被我们得到了，所以我们并不关心这个环和主路径的关系，我们只关心环的权值。

　　第二种情况：我们任意选取的到n的路径是否能保证最优性。假设存在一条更优的路径从1到n，那么这条路径与我们原来的路径构成了一个环，也就会被纳入线性基中，也会被计算贡献，假如这个环会被经过，那么最后的情况相当于是走了两遍原来选取的路径，抵消之后走了一次这个最优路径，所以我们无论选取的是哪条路径作为ans初值，都可以通过与更优情况构成环，然后得到一样的结果。这一证明可以拓展到路径上的任意点的路径选取。

　　这样我们就可以完美解决了。我第一次WA了一发，因为我没有考虑到ans初值不为0，在线性基上取到xor的max的时候，不能单纯以ans这一位是否为0来决定是否异或上基的这一位，必须要看异或之后取一个max做一个判断才行。

BZOJ5133

生成树计数

外向树：所有边的方向都是从根指向叶子

内向树：所有边的方向都是从叶子指向根

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