解释转自点击打开链接
游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的Nim和。这样就可以将每一个子游戏分而治之,从而简化了问题。而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim游戏中的直接应用,因为单堆的Nim游戏 SG函数满足 SG(x) = x。
SG函数:
首先定义mex(minimal excludant)运算,这是施加于一个集合的运算,表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
对于任意状态 x , 定义 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 后继状态的SG函数值的集合。如 x 有三个后继状态分别为 SG(a),SG(b),SG(c),那么SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。 这样 集合S 的终态必然是空集,所以SG函数的终态为 SG(x) = 0,当且仅当 x 为必败点P时。
【实例】取石子问题
有1堆n个的石子,每次只能取{ 1, 3, 4 }个石子,先取完石子者胜利,那么各个数的SG值为多少?
SG[0]=0,f[]={1,3,4},
x=1 时,可以取走1 - f{1}个石子,剩余{0}个,所以 SG[1] = mex{ SG[0] }= mex{0} = 1;
x=2 时,可以取走2 - f{1}个石子,剩余{1}个,所以 SG[2] = mex{ SG[1] }= mex{1} = 0;
x=3 时,可以取走3 - f{1,3}个石子,剩余{2,0}个,所以 SG[3] = mex{SG[2],SG[0]} = mex{0,0} =1;
x=4 时,可以取走4- f{1,3,4}个石子,剩余{3,1,0}个,所以 SG[4] = mex{SG[3],SG[1],SG[0]} = mex{1,1,0} = 2;
x=5 时,可以取走5 - f{1,3,4}个石子,剩余{4,2,1}个,所以SG[5] = mex{SG[4],SG[2],SG[1]} =mex{2,0,1} = 3;
以此类推.....
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8....
SG[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1....
由上述实例我们就可以得到SG函数值求解步骤,那么计算1~n的SG函数值步骤如下:
1、使用 数组f 将 可改变当前状态 的方式记录下来。
2、然后我们使用 另一个数组 将当前状态x 的后继状态标记。
3、最后模拟mex运算,也就是我们在标记值中 搜索 未被标记值 的最小值,将其赋值给SG(x)。
4、我们不断的重复 2 - 3 的步骤,就完成了 计算1~n 的函数值。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int n,arr[15],sg[1005]; int mex(int x) { if(sg[x]!=-1) return sg[x]; bool vis[1005]; for(int i=0;i<1005;i++) vis[i]=false; for(int i=0;i<10+1;i++){ int temp = x-arr[i]; if(temp<0) break; sg[temp]= mex(temp); vis[sg[temp]]=true; } for(int i=0;;i++) if(!vis[i]) { sg[x]=i; break; } return sg[x]; } int main() { arr[0]=1; for(int i=1; i<=10;i++) arr[i]=arr[i-1]*2; while(cin>>n){ memset(sg,-1,sizeof(sg)); if(mex(n)) cout<<"Kiki\n"; else cout<<"Cici\n"; } return 0; }
另一种写法(模板)
hdu 1848
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define MAXN 1000+10 #define N 20 int f[N],SG[MAXN],S[MAXN]; void getSG(int n) { int i,j; memset(SG,0,sizeof(SG)); for(int i=1;i<=n;i++) { memset(S,0,sizeof(S)); for(j=0;f[j]<=i&&j<=N;j++) S[SG[i-f[j]]] = 1; for(j = 0;;j++) if(!S[j]) { SG[j] = j; break; } } } int main() { int n,m,k; f[0]=f[1]=1; for(int i = 2;i<=16;i++) f[i] = f[i-1] + f[i-2]; getSG(1000); while(scanf("%d%d%d",&m,&n,&k),m||n||k) { if(SG[n]^SG[m]^SG[k]) printf("Fibo\n"); else printf("Nacci\n"); } return 0; }
hdu 1847
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define MAXN 1000+10 #define N 20 int f[N],SG[MAXN],S[MAXN]; void getSG(int n) { int i,j; memset(SG,0,sizeof(SG)); for(int i=1;i<=n;i++) { memset(S,0,sizeof(S)); for(j=0;f[j]<=i&&j<=N;j++) S[SG[i-f[j]]] = 1; for(j = 0;;j++) if(!S[j]) { SG[i] = j; break; } } } int main() { int n,m,k; f[0]=1; for(int i = 1;i<=11;i++) f[i] = f[i-1]*2; getSG(1000); while(~scanf("%d",&n)) { if(SG[n]) printf("Kiki\n"); else printf("Cici\n"); } return 0; }