01背包完全背包状态转移方程及空间复杂度优化

01 背包

问题描述：有N件【每件只有一个】物品和一个容量为V 的背包。第i 件物品的费用是w[i]，价值是v[i]，求将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

定义状态：即f[i][j]表示前i件物品恰放入一个容量为j 的背包可以获得的最大价值。

状态转移方程：

f[i][j]=max(f[i−1][j],f[i−1][j−w[i]]+v[i])

时间和空间复杂度均为O（VN）。时间复杂度不能再优化了，空间复杂度可以优化为O（N）

for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = V; j >= 0; j--)
        f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i]);

2 w[i]和v[i]中是i

可以进行优化的原因：每次写入数据都是根据上一行的结果写入的，数组一维就够用了

其中的f[j]=max(f[j],f[j−w[i]]) 一句相当于转移方程f[i][j]=max(f[i−1][j],f[i−1][j−w[i]]) ，因为现在的f[j−w[i]]就相当于原来的f[i−1][j−w[i]]。
注意上述代码中利用了滚动数组原理

完全背包：

问题描述：有N种【每种有无数个】物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。状态转移方程：

f[i][j]=max(f[i−1][j−k∗w[i]]+k∗v[i])∣0<=k∗w[i]<=j

注意：f[i−1]，不是f[i]

状态转移方程含义：若k=0，f[i−1][j]即j费用全部取前i-1种物品；若k=1，f[i−1[j−w[i]]+v[i]，即j-w[i]费用取前i-1种物品，w[i]费用取第i种物品。。。。。

优化为O（VN）：

for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = w[i]; j <= V; j++)
　　　　　　f(i,j)=
　　　　　　　　　　f(i-1,j)，如果不取第i件物品
　　　　　　　　　　f(i,j-w(i))+v(i)，如果取第i件物品

解释一下，为什么一位数组中，不用写k循环。[其他博客中均没有详细解释这一点，我这里用自己的话来理解下】

假设不考虑【f(i-1,j)，如果不取第i件物品】这种情况

j=w(i)时，表示此次取一件i物品，f(i,0)+v(i)表示加上一件第i件物品的值，得到f(i,w(i))

j=2*w(i)时，由于滚动数组，f(i,w(i))已经是上一次的f(i,w(i))，已经加了一次w[i]，所以这次只需再加一件w[i]即可。

...............

多次循环后，其实就等同于二维数组中的k循环了

写成代码：

for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = w[i]; j <= V; j++)
        f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i]);

f[j]表示放入N种物品获得的最大价值

注意：正序

参考文献1

01背包 完全背包 状态转移方程及空间复杂度优化