01背包、完全背包、多重背包+优化 模板

吃水不忘挖井人、这篇博客讲的很详细也很好，顶一下：传送门

01背包(ZeroOnePack)：有N件物品和一个容量为V的背包。（每种物品均只有一件）第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

完全背包(CompletePack)：有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

多重背包(MultiplePack)：有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

比较三个题目，会发现不同点在于每种背包的数量，01背包是每种只有一件，完全背包是每种无限件，而多重背包是每种有限件。

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01背包：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=10005;

int n, m;
int w[maxn], v[maxn];
int dp[maxn];
bool path[maxn][maxn];

void output()	//路径输出 
{
	int i=n, j=m;
	while (i>=0 && j>0){
        if(path[i][j] == 1)
        {
            printf("%d ", i+1);
            j -= w[i];
        }
        i--;
    }
    printf("\n");
}

int main() 
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i=0; i<n; i++)
		scanf("%d%d", &w[i], &v[i]); 
	memset(dp, 0, sizeof(dp));
	memset(path, false, sizeof(path));
	
	for(int i=0; i<n; i++) {
		for(int j=m; j>=w[i]; j--)	//注意是逆序、逆序、逆序！！ 
			if (dp[j] < dp[j - w[i]] + v[i])
			{
                dp[j] = dp[j - w[i]] + v[i];
                path[i][j]=true;
            }
	}
	printf("%d\n", dp[m]);
	output();
	
	return 0;
}

完全背包：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=10005;

int n, m;
int w[maxn], v[maxn];
int dp[maxn];
bool path[maxn][maxn];

void output()
{
	int i=n, j=m;
	while (i>=0 && j>0){
        if(path[i][j] == 1)
        {
            printf("%d ", i+1);
            j -= w[i];
        }
        else i--;
    }
    printf("\n");
}

int main() 
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i=0; i<n; i++)
		scanf("%d%d", &w[i], &v[i]); 
	memset(dp, 0, sizeof(dp));
	memset(path, false, sizeof(path));
	
	for(int i=0; i<n; i++) {
		for(int j=w[i]; j<=m; j++)	//注意是顺序、顺序、顺序！！ 
			if (dp[j] < dp[j - w[i]] + v[i])
			{
                dp[j] = dp[j - w[i]] + v[i];
                path[i][j]=true;
            }
	}
	printf("%d\n", dp[m]);
	output();
	
	return 0;
}

多重背包：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=10005;

int n, m;
int w[maxn], v[maxn], c[maxn];
int dp[maxn];
bool path[maxn][maxn];

void output()
{
	int i=n, j=m;
	while (i>=0 && j>0){
        if(path[i][j] == 1 && c[i])
        {
            printf("%d ", i+1);
            j -= w[i];
            c[i]--;
        }
        else
			i--;
    }
    printf("\n");
}

int main() 
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i=0; i<n; i++)
		scanf("%d%d%d", &w[i], &v[i], &c[i]); 
	memset(dp, 0, sizeof(dp));
	memset(path, false, sizeof(path));
	
	for(int i=0; i<n; i++)
		for(int k=0; k<c[i]; k++)
			for(int j=m; j>=w[i]; j--)	//也是逆序！！ 相当于重复01背包！ 
				if (dp[j] < dp[j - w[i]] + v[i])
				{
					dp[j] = dp[j - w[i]] + v[i];
                	path[i][j] = true;
				}
		
	printf("%d\n", dp[m]);
	output();
	
	return 0;
}

多重背包+二进制优化：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=100005;

int n, m;
int w[maxn], v[maxn], c[maxn];
int dp[maxn];

void zero(int weight, int value)
{
	for(int i=m; i>=weight; i--)
		dp[i]=max(dp[i], dp[i-weight]+value);
}

void complet(int weight, int value)
{
	for(int i=weight; i<=m; i++)
		dp[i]=max(dp[i], dp[i-weight]+value);
}

void multi(int weight, int value, int amount)
{
   	if(weight*amount>=m)	//容量小的时候相当于无限背包 
   	{
	   	complet(weight, value);
	   	return;
	}
	int k=1;
	while(k<amount)	//当k个仍小于容量时，用01背包 
	{
   		zero(k*weight, k*value);
   		amount-=k;
   		k<<=1;
   	}
   	zero(amount*weight, amount*value);	//最后剩余再用01背包 
}

int main() 
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	memset(dp, 0, sizeof(dp));
	for(int i=0; i<n; i++)
		scanf("%d%d%d", &w[i], &v[i], &c[i]); 
	
	for(int i=0; i<n; i++)
		multi(w[i], v[i], c[i]);
		
	printf("%d\n", dp[m]);
	
	return 0;
}